Тема: «Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума.»

Тема: «Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума.»

Основная часть лекции:

Отчетливое выявление основных свойств, позволяющих достаточно наглядно судить о ее поведении, называют исследованием функции.

В стандартную схему исследования функции обычно включают следующие пункты.

1. Область определения функции.

2. Нули (корни) функции.

3. Промежутки знакопостоянства.

4. Точки экстремума функции.

5. Промежутки возрастания и убывания (монотонность) функции.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции.

7. Множество значений функции.

Дадим краткое описание тех понятий, которые включены нами в схему исследования функции.

1. Область определения – множество значений аргумента, при которых задана функция. Если функция задана формулой, то имеется в виду ее естественная область определения, т. е. множество чисел, к которым применима данная формула.

Примеры:

2. Нули (корни) – точки, в которых функция обращается в нуль, или, иначе, решения уравнения f(x) = 0.

Примеры:

3. Промежутки знакопостоянства – интервалы, на которых функция положительна или отрицательна, или, иначе, решения неравенств f(x) > 0 и f(x) < 0.

Примеры:

4. Точки экстремума – точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое малое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках.

Примеры:

5. Промежутки возрастания и убывания – интервалы, на которых функция или возрастает, или убывает. Слова “возрастание” и “убывание” функции иногда заменяют одним словом – “монотонность” функции.

Примеры:

6. Наибольшее и наименьшее значения функции – самое большое или самое маленькое значение функции по сравнению со всеми возможными (в отличие от экстремумов, где сравнение ведется только с близкими точками).

Примеры:

а) y = 1 – x; функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

б) y = –x, x [–1; 1]; наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах промежутка: y(–1) = 1 – наибольшее значение; y(1) = 1 – наименьшее значение.

в) y = x² – 1; наименьшее значение функция принимает при x = 0,

y(0) = –1. Наибольшего значения у функции нет.

г) y = –x² + 2x, x [1; 3], наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах промежутка: y(1) = 1 – наибольшее значение;

y(3) = –3 – наименьшее значение.

7. Множество значений функции – множество чисел, состоящее из всех значений функции.

12 Следующая ⇒