Таблица 1. Закон распределения случайной величины Х.

Тема урока: Дискретная случайная величина, закон ее распределения..

Работа над новым материалом.

В обыденной жизни и в научных исследованиях постоянно приходится встречаться с такими ситуациями, когда интересующая нас величина может принимать различные значения в зависимости от случайных обстоятельств.

Сколько вызовов поступит на телефонную станцию в течение ближайшего часа?

Сколько уличных происшествий в течение предстоящих суток может произойти в каком-либо населенном пункте?

В подобных ситуациях приходится иметь дело со случайными величинами (СВ).

- Что такое случайная величина? (Переменная величина, значения которой зависят от случайного исхода некоторого испытания, причем каждое из этих значений реализуется с той или иной вероятностью).

- На какие две большие группы можно разделить СВ, и чем они отличаются друг от друга?

(Дискретные и непрерывные. Для ДСВ можно заранее указать те значения, которые может принять СВ, а для непрерывной заранее нельзя указать все значения).

Рассмотрим примеры.

1) Из одного и того же орудия при одном и том же прицеле производятся 4 выстрела. Что может быть случайной величиной ? (Число попаданий)

- Что может быть непрерывной СВ? (Расстояние от орудия до места разрыва)

- Можно ли из данной непрерывной величины «сделать» дискретную?(Да, указав, например, расстояние в метрах).

2) Скорость молекулы газа не остается неизменной, а меняется от столкновений с другими молекулами. Ввиду того, что каждая молекула может либо столкнуться, либо не столкнуться с каждой другой молекулой газа, изменение ее скорости носит чисто случайный характер. Это ДСВ или непрерывная СВ? (Непрерывная).

3) Число метеоритов, падающих на Землю в течение года, достигающих ее поверхности, не постоянно, а подвержено значительным колебаниям в зависимости от целого ряда обстоятельств случайного характера.

Остановимся на ДСВ.

- Что нужно знать о СВ, чтобы иметь о ней исчерпывающие сведения? (Перечень значений, которые она может принимать; вероятности, с которыми СВ принимает то или иное значение).

- Что такое вероятность? (Отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов).

Установив соответствие между значениями СВ и их вероятностями, мы тем самым зададим закон распределения дискретной случайной величины (ЗР ДСВ).

Наиболее существенные особенности распределения в сжатой форме выражаются числовыми характеристиками.

- Какие вы знаете числовые характеристики для ДСВ?

Рассмотрим некоторые из них, решив задачи.

Задача 1. Рассмотрим еще одну игру. Мишень разделена на 8 равных секторов и установлена так, что может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О. При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различать цифры, выписанные по одной на секторах. Он вынужден стрелять наугад.

При попадании в сектор 1 стрелок выигрывает 10 р., в сектор 2 — 20 р., в сектор 3 — 30 р. и т. д., в сектор 8 — 80р. Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 50р.?

Поскольку мишень вращается, то способности стрелка здесь не имеют никакого значения: попадание — чистая случайность. Случайная величина выражает возможные выигрыши. Она может принимать значения 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80.

Так как все секторы одинаковые, то каждое из этих значений случайная величина принимает с одинаковой вероятностью 1/8.

Значит, М=10·1/8+20·1/8+30·1/8+40·1/8+50·1/8+60·1/8+70·1/8+80·1/8=45

Итак, математическое ожидание выигрыша 45 р., а стоимость выстрела 50р. Стрелять много раз явно невыгодно. На основании подобных расчетов организуются разнообразные азартные игры, приводящие игроков к разорению.

Задача 2. Число вызовов, поступающих в пожарные части двух районов в течение недели, имеет соответственно законы распределения:

Х
Р	0,8	0,15	0,05

У
Р	0,82	0,1	0,08

В распоряжение города поступила новая пожарная машина.

Проблема – в какой район ее отдать? Задача для самостоятельного решения.

Рассмотреть решения первых пяти человек.

Решим еще одну задачу, где для ответа на вопрос недостаточно знания математического ожидания.

Задача 3. Число очков, выбиваемых при одном выстреле каждым из двух стрелков, имеет ЗР ДСВ:

Х
Р	0,3	0,2	0,3	0,2

У
Р	0,1	0,5	0,3	0,1

Какому из стрелков вы отдадите предпочтение?

- Что необходимо найти для разрешения поставленного вопроса? (Математическое ожидание М(Х) и М(У).

К доске выходят два ученика и считают М(Х) и М(У), остальные по вариантам проверяют решение.

М(Х)=7*0,3+8*0,2+9*0,3+10*0,2=8,4

М(У)=7*0,1+8*0,5+9*0,3+10*0,1=8,4

Получили проблему: М(Х)=М(У)

- Как же в таком случае определить, кто стреляет лучше? (Посчитать дисперсию, показывающую отклонение значений СВ от М(Х), М(У).

Дисперсию считают 2 ученика разными способами, по вариантам отслеживают решение.

1 способ. Д(Х)=М(Х-М(Х))^2

(Х-М(Х))^2	1,96	0,16	1,96	2,56
Р	0,3	0,2	0,3	0,2

Д(Х)=1,96*0,3+0,16*0,2+1,96*0,3+2,56*0,2=1,72

2 способ. Д(У)=М(У^2)-М^2(У)

У^2
Р	0,1	0,5	0,3	0,1

М(У^2)= 49*0,1+64*0,5+81*0,3+100*0,1=71,2

М^2(У)= 8,4*8,4=70,56

Д(У)=71,2-70,56=0,64

Вывод: разброс значений выбитых очков меньше у второго стрелка, второй стреляет лучше.

- Какие еще характеристики СВ можно определить?

Мода Х=7, Мода Х =9 – величина двумодальная

Мода У = 8 – величина одномодальная

- Что же такое МОДА? (Значение СВ, имеющее наибольшую вероятность)

Определим МЕДИАНУ – середину упорядоченного ряда.

Упорядочим ряд для СВ Х : 7,7,7,8,8,9,9,9,10,10

Ме (Х)=(8+9):2= 8,5

Упорядочим ряд для СВ У : 7,8,8,8,8,8,9,9,9,10

Ме (У)=8

Определим РАЗМАХ – разницу между большим и меньшим значениями СВ.

R(X)=R(Y)=10-7=3

По определению дисперсия имеет размерность квадрата СВ. Для наглядной характеристики рассеивания (разброса) удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью СВ. Это СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ сигма.

Сигма(Х)=SQRTL(Д(Х))=SQRT1,72=1,3

Сигма (У)=SQRT 0,64 = 0,8.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, равное сумме произведений всех значений случайной величины на вероятности этих значений.

Если случайная величина Х принимает значения x₁, x₂, ... , x_n с вероятностями соответственно p₁, p₂,... p_n , то математическое ожидание находится по формуле:

М(x) = x_ip_i = x₁p₁+ x₂p₂ + ... + x_np_n (1)

Математическое ожидание иначе называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое среднее число, около которого группируются все значения случайной величины.

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(x) = M(x – M(x))² (2)

Пусть случайная величина Х принимает значения x₁, x₂, ... , x_n с вероятностями соответственно p₁, p₂,... p_n , тогда квадрат отклонения случайной величины Х от её математического ожидания есть случайная величина, принимающая значения (Х₁ – М(Х)), (Х₂ – М(Х)), …, (Хn – М(Х) с вероятностями Р₁ , Р₂ , …, Рn. Поэтому математическое ожидание так распределенной случайной величины, то есть дисперсию Х, можно вычислять по формуле: D(X) = (x_i – M(x))²p_i (3)

D(x) = M(x²) – (M(x))² (4)

Дисперсия случайной величины характеризует степень разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называется квадратный корень из дисперсии:

(x) = D(x) (5)

Пример 1. Найти числовые характеристики случайной величины Х, имеющей закон распределения, представленный в таблице 1.

Таблица 1. Закон распределения случайной величины Х.

Xi	– 2	– 1
Pi	0.3	0.1	0.2	0.1	0.3

Решение:

1. Найдём математическое ожидание.

По формуле (1): M(x) = –2 ^. 0.3 + (–1) ^. 0.1 + 1 ^. 0.2 + 2 ^. 0.1 + 3 ^. 0.3 = – 0.6 – 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.9 = 0.6

2. Найдём дисперсию.

Воспользуемся формулой (2): случайная величина (Х – М(Х)) имеет распределение, представленное в таблице 2

12 Следующая ⇒