Вычисление объемов тел.

: Вычисление объемов тел.

: Интеграл, широко применяющийся в физике. Слово физикам.

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле .

Примеры:

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение: согласно условию, . Следовательно,

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:

3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2—9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2—9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F— сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м.

Пример:

1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА

Задача. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

Решение: выделим на глубине х горизонтальный слой высотой dх (рис.). Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.

Изменение глубины х на малую величину dх вызовет изменение объема V на величину dV = пr² dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r² dх; при этом совершаемая работа А изменится на величину dА=9807пr² хdх. Проинтегрировав это равенство при изменении x от 0 до Н, получим

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.

Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р =9807 S x,

где — плотность жидкости, кг/м³; S — площадь площадки, м²; х - глубина погружения площадки, м.

Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).

5. ДЛИНА ДУГИ

Пусть плоская кривая АВ (рис. ) задана уравнением у =f(x) (a x b), причем f(x) и f ?(x) — непрерывные функции в промежутке [а,b]. Тогда дифференциал dl длины дуги АВ выражается формулой или , а длина дуги АВ вычисляется по формуле (4)

где а и b—значения независимой переменной х в точках А и В. Если кривая задана уравнением х = (у)(с у d), то длина дуги АВ вычисляется по формуле (5) где с и д значения независимой переменной у в точках А и В.

6. ЦЕНТР МАСС

При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:

1) Координата х? центра масс системы материальных точек А₁, А₂,..., А_n с массами m₁, m₂, ..., m_n, расположенных на прямой в точках с координатами х₁, х₂, ..., х_n, находятся по формуле

(*); 2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры. Пример. Пусть вдоль стержня-отрезка [а;b] оси Ох - распределена масса плотностью (х), где (х) - непрерывная функция. Покажем, чтоа) суммарная масса М стержня равна ; б) координата центра масс х' равна .

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей точками а= х₀< х₁< х₂< ... <х_n= b (рис. ). На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянно и примерно равной (х_k_{- 1}) на k-м отрезке (в силу непрерывности (х). Тогда масса k-ого отрезка примерно равна а масса всего стержня равна

Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы m_k , помещенной в точке , получим по формуле (*), что координата центра масс приближенно находится так

Теперь осталось заметить, что при n —> числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) - к интегралу

Для нахождения координат центра масс системы материальных точек на плоскости или в пространстве также пользуются формулой(*)

Учитель: У вас на столах таблица и задачи, используя таблицу найдите: а) количество электричества; б) массу стержня по его плотности.

Величины	Вычисление производной	Вычисление интеграла
А – работа; F – сила; N - мощность.	F(x)=A' (x); N(t)=A' (t).	A= ; A=
m –масса тонкого стержня p – линейная плотность	P(x)=m' (x).	m=
Q –электрический заряд; I – сила тока.	I(t)=q' (t)	Q=
S –перемещение; v –скорость.	V(t)=S' (t)	S=
Q –количество теплоты; с – теплоёмкость.	C(t)=Q' (t)	Q=

развернуть таблицу

Физические приложения интеграла

1. Реши задачи.

Вариант 1	Вариант 2
Вычислите массу участка стержня от , если его линейная плотность задается формулой	Вычислите работу за промежуток времени [4;9 ], если мощность вычисляется по формуле /
Вычислите количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени [ 2;3 ], если сила тока задается формулой	Вычислите работу по переносу единичной массы, совершенную силой [ -1;2].

Элект.почта: marina_konovalova_2017@bk.ru

⇐ Предыдущая 12