Горизонтальные плоскости пересекают гиперболоид по эллипсам

1.7 Лекция 7. Поверхности второго порядка

Уравнение поверхности второго порядка. Цилиндры. Конусы. Эллипсоиды, гиперболоиды и параболлоиды. Канонические уравнения. Приложения в оптике.

Определение 7.1 Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, удовлетворяющих уравнению

Уравнение любой поверхности второго порядка невырожденным линейным преобразованием неизвестных можно привести к каноническому виду. Каноническое уравнение не содержит произведений неизвестных , , . Кроме того, если каноническое уравнение содержит квадрат неизвестной, то первая степень этой неизвестной в уравнение не входит.

За исключением вырожденных случаев (плоскости, точки, пустое множество), существует девять типов поверхностей второго порядка:

– эллипсоид,

– однополостный гиперболоид,

– двуполостный гиперболоид,

– конус,

– эллиптический параболоид,

– гиперболический параболоид,

– эллиптический цилиндр,

– гиперболический цилиндр,

– параболический цилиндр.

Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

Рис.1. Эллипсоид

Определение 7.2 Положительные числа , , называются полуосями эллипсоида.

Если , или , или , то эллипсоид образован вращением эллипса вокруг одной из координатных осей. При эллипсоид является сферой. Сечения эллипсоида плоскостями , , являются эллипсами