Тоді з рівності

x² – x + 1

x⁴ – x³ + x²

_ x³ – x² – 2

x³ – x² + х

Контрольна робота № 9

І. Знайти найбільший спільний дільник многочленів f(x) і g(x) та підібрати такі многочлени m(x) і n(x), що f(x)m(x) + g(x)n(x) = d(x).

2) f(x) = x⁶– 7x⁴+ 8x³ – 7x + 7; g(x) = 3x⁵ – 7x³ + 3x² – 7;

Розв‘язання.

До многочленів f(x) і g(x) застосовуємо алгоритм Евкліда:

_ x⁶– 7x⁴+ 8x³ – 7x + 7

3x⁵ – 7x³ + 3x² – 7

x⁶– x⁴ + x³ – x

- x⁴+ 7x³ – x +7

_ 3x⁵ – 7x³ + 3x² – 7

- x⁴+ 7x³ – x +7

3x⁵–9/2 x⁴+3x²- 9/2x

_ 9/2 x⁴- 7x³ + 9/2x – 7

9/2x⁴ – 27/49x³ + 9/2x - 27/4

-1/4x³ - 1/4

14/3x⁴+ 7х³– 14/3x + 7

-1/4x³ - 1/4

14/3x⁴ – 14/3x

_ 7х³ - 7

7х³ + 7

– 14.

Отже, в результаті ділення одержуємо:

f(x) = g(x)q₁(x) + r₁(x);

q₁(x) = , r₁(x) = - x⁴+ 7x³ – x +7;

g(x) = r₁(x)q₂(x) + r₂(x);

q₂(x) = ; r₂(x) = ;

r₁(x) = r₂(x)q₃(x) + r₃(x);

q₃(x) = ; r₃(x) = –14.

Так як r₃(x) = –14 є стале число, а на стале число без остачі ділиться будь-який многочлен, то наступна остача r₄(x) буде дорівнювати нулю. Отже, алгоритм Евкліда записався тут у три рядки, а найбільший спільний дільник дорівнює – 14, або

d(x) = 1 = – r₃(x).

Щоб виразити d(x) через многочлени m(x) і n(x) виразимо спочатку через них r₃(x).

r₃(x) = r₁(x) – r₂(x) q₃(x),

r₃(x) = r₁(x) – [g(x) – r₁(x)q₂(x)]q₃(x),

або r₃(x) = r₁(x)[1 + q₂(x)q₃(x)] – g(x)q₃(x).

В останню рівність замість r₁(x) підставимо його вираз з першого рядка алгоритму Евкліда, одержимо:

r₃(x) = [f(x) – g(x)q₁(x)]×[1 + q₂(x)q₃(x)] – g(x)q₃(x) =

= –f(x)[1 + q₂(x)q₃(x)] + g(x)[–q₁(x) – q₁(x)q₂(x)q₃(x) – q₃(x)].

Враховуючи, що d(x) = – r₃(x), маємо:

Отже, ;

де q₁(x) = ; q₂(x) = ; q₃(x) = .

Одержуємо:

Відповідь:

ІІ. Користуючись схемою Горнера:

а) розкласти многочлен f(x) за степенями (х – а) і одержаний розклад розташувати за спадними степенями х;

б) знайти канонічний розклад (відокремити кратні множники);

в) знайти значення многочлена f(x) та його похідних при х = а, якщо

f(x) = x⁵ + 3x⁴ – 9x³ – 7x² + 39x – 21, a = 1.

Розв‘язання.

а) За схемою Горнера маємо:

-9	-7	-21
-5	-12
	-12
	-6

Звідси

f(x) = (x – 1)⁵ + 8(x – 1)⁴ + 13(x – 1)³ – 6(x – 1)² + 15(x – 1) + 6 = F(x – 1).

Розташуємо многочлен F(x – 1) за степенями х. запишемо х у вигляді
x = (x – 1) + 1 і за схемою Горнера розділимо F(x – 1) на двочлен (x – 1) + 1, одержуємо:

	-6
	-12	-21
	-12
-5	-7
-9

Отже, F(x –1) = x⁵ + 3x⁴ – 9x³ – 7x² + 39x – 21.

б) Знайдемо d₁ = (f, f¢ ), де f¢ = 5x⁴ + 12x³ – 27x² – 14x + 39.

в) Для многочлена f(x) запишемо формулу Тейлора:

Порівняємо формулу з розкладом за степенями (х - 1). Одержуємо:

f(1) = 6; f ¢(1) = 15; f ¢¢(1) = 2!×(-6);

f ¢¢¢(1) = 3!×13; f ^(IV)(1) = 4!×8; f ^(V)(1) = 5!×1.

ІІІ. Знайти раціональні корені многочлена

f(x) = 6x⁴ + 19x³ - 7x² - 26x+ 12.

Розв‘язання.

Старший коефіцієнт a₀ = 6 ¹ 1. Тому многочлен, якщо має раціональні корені, то вони можуть бути як цілими, так і дробовими.

Шукаємо їх серед чисел:

Знайдемо границі дійсних коренів многочлена

, В = 26, а₀ = 6,

Знаходження нижньої границі: f(x-) = 6x⁴ - 19x³ - 7x² + 26x+ 12

, В = 19, а₀ = 6,

Нижня границя НГ_Х = -5. Корні многочлена знаходяться в інтервалі (-5;4).

Використаємо, те що якщо - корінь , то ціле. Знайдемо , значить - ціле, - ціле, якщо - корінь .

Перевіримо усілякі дробі , ураховуючи границі коренів

-2

-3

-4

З’явилися «кандидати в корені», це числа 2, -3, 1/3, 1/2.Перевіряючи їх за схемою Горнера переконуємося, що . Для многочлена четвертого ступеня знайшли два кореня: або .

Корені многочлена знаходимо безпосередньо

- не раціональне.

ІV. Виразити через елементарні симетричні многочлени многочлен.

f(x₁, x₂, x₃) = x₁⁵x₂x₃ + x₂⁵x₁x₃+ x₃⁵x₁x₂ + 2x₁x₂x₃.

Розв‘язання.

Складемо розрахункову таблицю:

Система показників вищого члена	Вищий член	Відповідна комбінація елементарних симетричних многочленів
5 1 1	x₁⁵x₂x₃	s₁⁴s₃
4 2 1	bx₁⁴x₂²x₃¹	bs₁²s₂s₃
3 2 2	cx₁³x₂² x₃²	cs₁s₃

Тоді f(x₁, x₂, x₃) = s₁⁴s₃+ bs₁²s₂s₃+ cs₁s₃, (*)

де s₁= x₁+ x₂+ x₃, s₂ = x₁x₂+ x₁x₃+ x₂x₃, s₃ = x₁x₂x₃.

Поклавши x₁ = 1; x₂ = 1; x₃ = -2, одержуємо: s₁= 0, s₂= -3, s₃= -2, f = –40.

Підставляючи знайдені значення у вираз (*), одержуємо:

–40 = b × (–2); b = 20,

тобто f(x₁, x₂, x₃) = s₁⁴s₃+ 20s₁²s₂s₃+ cs₁s₃(**)

Надаємо значень x₁ = x₂ = 1, x₃ = –1, одержуємо:

s₁= 1, s₂ = –1, s₃ = –1, f = –5.

Підставляємо знайдені значення у вираз (**), одержуємо: c = 24. Отже,

f(x₁, x₂, x₃) = s₁⁴s₃+ 20s₁²s₂s₃+ 24s₁s₃

V. У множині дійсних чисел розв’язати систему рівнянь:

Розв‘язання.

VI. Позбавитися від алгебраїчної ірраціональності в знаменнику дробу

Розв‘язання.

Заданий дріб є значенням раціонального дробу при , яке є коренем незвідного у полі Q многочлена h(x) = x⁴ – 2. Многочлени g(x) і f(x) взаємно прості. Знайдемо лінійне зображення їхнього найбільшого спільного дільника.

Ділення многочленів виконаємо “кутом”:

x⁴ – 2 = (x² – x + 1)(x² + х) – x – 2,

h(x) = g(x)(x² + х) – (x + 2).

x + 2 = –h(x) + g(x)(x² + х);

x² – x + 1 = (– x – 2)( ) + 7,

g(x) = – (x + 2)( ) + 7.

Звідси

7 = g(x) + (x + 2)( ) = g(x) + (– h(x) + g(x)(x² + х))( ) =

= g(x)(1 + (x² + х)( )) + h(x)( ) =

= g(x)( ) + h(x)( ).

Оскільки , то

VІІ. Довести, що число a є алгебраїчним і знайти його мінімальний многочлен, якщо .

Розв‘язання.

Число a називають алгебраїчним відносно поля Р, якщо воно є коренем деякого многочлена над полем Р. Отже, нам треба знайти незвідний над полем Р многочлен, коренем якого є число . Для цього розглянемо рівняння . Число a є коренем цього рівняння. Обидві частини цього рівняння підносимо до другого степеня .

Позбавляємося від ірраціональних коефіцієнтів:

звідси одержуємо рівняння з раціональними коефіцієнтами x⁴ – 4x³ + 8х - 1 = 0.

В результаті зроблених перетворень не відбулося втрати коренів. Отже, число є коренем одержаного рівняння або многочлена
f(x) = x⁴ – 4x³ + 8х - 1 . Цей многочлен над полем раціональних чисел незвідний. Так як степінь многочлена f(x) дорівнює 4, то число є алгебраїчним числом 4-ого степеня, а його мінімальним многочленом є многочлен
f(x) = x⁴ – 4x³ + 8х - 1 .

VІІІ. Розкласти на незвідні у полі Q множники многочлен

f(x) = x⁴ – x³ – 6x² + 8x – 2.

Розв‘язання.

Нехай многочлен f(x) є звідним у полі Q, тобто його можна розкласти в добуток не менше як двох многочленів ненульового степеня з кільця Q[x]. Щоб розкласти многочлен f(x) на множники, застосуємо метод невизначених коефіцієнтів. При цьому досить розглянути два випадки можливого розкладу:

1) обидва множники мають степінь 2;

2) один множник має степінь 1, а другий 3.

Нехай f(x) = (ax² + bx + c)(dx² + mx + n). (1)

Тоді з рівності

x⁴ – x³ – 6x² + 8x – 2= adx⁴ + (am + bd)x³ + (an + bm + cd)x² + (bn + cn)x + cn

маємо

(2)

Розв‘яжемо цю систему рівнянь в цілих числах. Знаходимо a = d = 1 або
a = d = –1, з останнього рівняння – c = -1, n = 2, c = -2, n = 1, c = 2, n = –1, c = 1, n = –2. Розглянемо кожен з восьми можливих варіантів.

1) Якщо a = d = 1, c = -1, n = 2, то маємо систему:

Ця система несумісна.

2) У кожному з решти варіантів несумісними є також системи рівнянь:

Це означає, що система рівнянь (2) несумісна і многочлен f(x) не розкладається в добуток двох многочленів другого степеня з цілими коефіцієнтами.

Припустимо, що розклад (1) виконується при дробових числах a, b, c, d, m, n. Зведемо до найменшого спільного знаменника коефіцієнти многочленів g₁(x) = ax² + bx + c, g₁(x) = dx² + mx + n та винесемо за дужки ці знаменники і найбільші спільні дільники чисельників обох многочленів. Одержуємо розклад

де (r, s) = (a₁, b₁, c₁) = (d₁, m₁, n₁) = 1.

Оскільки коефіцієнти многочлена f(x) є цілими числами, то всі коефіцієнти многочлена мають ділитися на число s, а тому й на кожен його простий дільник р.

Разом з тим, серед кожної трійки чисел a₁, b₁, c₁та d₁, m₁, n₁ знайдуться числа, які не діляться на р. тому серед коефіцієнтів a₁d₁, a₁m₁+ b₁d₁,
a₁n₁ + b₁m₁ + c₁d₁, b₁n₁ + c₁m₁і c₁n₁многочлена g(x) знайдеться такий, що не ділиться на р. тому s = 1 і ми дістанемо розклад (1) з цілими коефіцієнтами, що неможливо.

Нехай f(x) =(ax + b)(cx³ + dx² + mx + n). Тоді з рівності

x⁴ – x³ – 6x² + 8x – 2 = acx⁴ + (ad + bc)x³ + (am + bd)x² + (an + bm)x + bn

маємо:

Одним з розв‘язків цієї системи є a = c = 1, n = 2, b = -1, d = 0, m = - 6. Отже, f(x) = (x - 1)(x³ - x² - 6x + 2). тобто многочлен f(x) звідний у полі Q.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒