![]()
|
|||||||||
Поверхности второго порядкаСтр 1 из 2Следующая ⇒ Поверхности второго порядка Поверхности являются пространственными аналогами кривых второго порядка на плоскости. 1. Эллипсоид
Определение. Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением:
Постараемся уяснить форму эллипсоида с помощью «метода параллельных сечений». Рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными Оху, т.е. z=h. Линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями:
Если: 1) 1) Величина 2) При возрастании 3) При 4) При Совершенно аналогично рассматриваются сечения эллипсоида плоскостями, параллельными Таким образом, вывод: эллипсоид есть замкнутая овальная поверхность, обладающая тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Величины При В случае Уравнение
2. Гиперболоид
1. Однополостный. 2. Двухполостный. Определение. однополостным гиперполоидом называется поверхность, которая в данной декартовой системе координат определяется уравнением:
Определение. Двухполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая уравнением:
Однополостный гиперболоид
Он задается уравнением (4). Рассмотрим сечение его координатными плоскостями Сечение плоскостью Мы видим, что эта гипербола расположена симметрично относительно осей Ox и Oz и пересекает ось Ox в точках Сечение плоскостью
Сечение плоскостью
И рассмотрим произвольное сечение плоскостью z=h, параллельной Оху: 1) Плоскость z=h пересекает гиперболоид (4) по эллипсу с полуосями 2) Величина 3) При возрастании Построим однополостный гиперболоид: Вывод: однополостный гиперболоид имеет вид бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся в обе стороны от горлового эллипса. Величины Замечание: В уравнении (4) знак «минус» может стоять и при Двухполостный гиперболоид
Сечение плоскостью
Сечение плоскостью z=h. (*) Отсюда видно: 1) 2) При возрастании 3) При убывании 4) При Вывод: Двухполостный гиперболоид есть поверхность, состоящая из двух полостей, каждая имеет вид бесконечной выпуклой чаши, он обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Величина
3. Параболоид 1. Эллиптический параболоид. 2. Гиперболический параболоид.
Эллиптический параболоид
Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в декартовой системе координат определяется уравнением:
Исследуем эту поверхность методом сечений: Сечение плоскостью
Сечение плоскостью
Теперь рассмотрим сечение плоскостью, параллельной 1) При 2) При возрастании 3) При убывании 4) При Вывод: Эллиптический параболоид имеет вид выпуклой чаши. Он обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка О называется вершиной эллиптического параболоида. Числа Эллиптический параболоид можно рассматривать как вращение параболы вокруг оси z.
Гиперболический параболоид Определение. Поверхность, которая в ДСК определяется уравнением: Называется гиперболическим параболоидом. Исследуем уравнение (7). Рассмотрим сечение плоскостью
Теперь рассмотрим сечения (7) плоскости, параллельной
Все эти параболы будут находится вершинами на восходящей параболе Сечение гиперболического параболоида плоскостями, параллельными
Вывод: Гиперболический параболоид имеет форму седла, обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка, с которой совмещено начало координат называется вершиной гиперболического параболоида. Числа
4. Конус
Определение. Поверхность, которая определяется уравнением:
состоит из прямых, проходящих через одну точку, именно, через начало координат и называется конусом. Заметим, что (8) однородно, все его члены имеют одну и ту же степень 2. Точка Теорема:Если некоторая точка Прямые, из которых составлен конус, называются его образующими
Если Рассмотрим уравнение:
Это уравнение определяет единственную действительную точку
|
|||||||||
|