![]()
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Алгоритм составления канонического уравнения ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Алгоритм составления канонического уравнения поверхности второго порядка
Пусть в прямоугольной системе координат Требуется определить ее название и составить каноническое уравнение. Для этого нужно выполнить следующие действия: 1. Вычислить ортогональные инварианты Если Если 2. По табл. 11.1 определить название поверхности, а по названию –каноническое уравнение поверхности второго порядка. 3. Составить характеристическое уравнение используя коэффициенты, вычисленные в п.1, либо разлагая определитель
Найти корни
4. Занумеровать корни а) если поверхность эллиптического типа, то б) если поверхность гиперболического типа, то обозначить через в) если поверхность параболического типа, то – если нулевой корень двойной, то – если нулевой корень простой, а ненулевые корни одного знака, то – если нулевой корень простой, а ненулевые корни разных знаков, то
5. Вычислить коэффициенты канонического уравнения и записать его в канонической системе координат а) для поверхностей эллиптического типа: (1) – при Таблица 11.1. Классификация поверхностей второго порядка
(2) при
(3) при
б) для поверхностей гиперболического типа:
(4) при
(5) при
(6) при
в) для поверхностей параболического типа:
(7) при (8) при
(9) при
(10) при
(11) при
(12) при
(13) при (14) при (15) при (16) при (17) при
Пример 11.10. Определить названия и составить канонические уравнения алгебраических поверхностей второго порядка, заданных в прямоугольной системе координат а) б) в) г) д) е) ж) з) и) o а) Определяем коэффициенты уравнения: 1. Вычисляем инварианты:
2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает эллипсоид, так как
3. Составляем характеристическое уравнение
и находим его корни:
4. Поскольку поверхность эллиптического типа, то корни уравнения обозначим
5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения эллипсоида:
Таким образом, каноническое уравнение (1) заданной поверхности имеет вид
б) Определяем коэффициенты уравнения:
1. Вычисляем инварианты:
2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает поверхность гиперболического типа, так как 3. Составляем характеристическое уравнение
и находим его корни: 4. Поскольку поверхность гиперболического типа, то корни уравнения обозначим 5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения: – однополостного гиперболоида (при
следовательно, каноническое уравнение (4) имеет вид
– конуса (при
следовательно, каноническое уравнение (6) имеет вид – двуполостного гиперболоида (при
следовательно, каноническое уравнение (5) имеет вид
в) Определяем коэффициенты уравнения: 1. Вычисляем инварианты:
2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает эллиптический параболоид, так как 3. Составляем характеристическое уравнение
и находим его корни: 4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни уравнения обозначим следующим образом: 5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения эллиптического параболоида: Таким образом, каноническое уравнение (7) заданной поверхности имеет вид
г) Определяем коэффициенты уравнения:
1. Вычисляем инварианты:
2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает гиперболический параболоид, так как
3. Составляем характеристическое уравнение
4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни характеристического уравнения обозначим следующим образом:
5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения гиперболического параболоида:
Таким образом, каноническое уравнение (8) заданной поверхности имеет вид д) Определяем коэффициенты уравнения: 1. Вычисляем инварианты:
Так как
2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает эллиптический цилиндр, так как 3. Составляем характеристическое уравнение
4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни уравнения обозначим следующим образом: 5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения эллиптического цилиндра:
Таким образом, каноническое уравнение (9) заданной поверхности имеет вид
е) Определяем коэффициенты уравнения: 1. Вычисляем инварианты:
Так как
2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает поверхность параболического типа, так как 3. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: 4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни характеристического уравнения обозначим следующим образом: 5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения: – гиперболического цилиндра (при следовательно, каноническое уравнение (12) имеет вид
– пары пересекающихся плоскостей (при следовательно, каноническое уравнение (13) имеет вид ж) Определяем коэффициенты уравнения: 1. Вычисляем инварианты:
Так как
2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает параболический цилиндр, так как 3. Составляем характеристическое уравнение
4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни уравнения обозначим следующим образом:
5. Вычисляем коэффициент канонического уравнения параболического цилиндра:
Таким образом, каноническое уравнение (14) заданной поверхности имеет вид з) Определяем коэффициенты уравнения:
1. Вычисляем инварианты: Так как Так как
2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает пару параллельных плоскостей, так как 3. Составляем характеристическое уравнение
4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни уравнения обозначим следующим образом:
5. Вычисляем коэффициент канонического уравнения пары параллельных плоскостей: Таким образом, каноническое уравнение (15) заданной поверхности имеет вид и) Определяем коэффициенты уравнения: 1. Вычисляем инварианты: Так как Так как 2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает пару совпадающих плоскостей, так как 3. Составляем характеристическое уравнение 4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни уравнения обозначим следующим образом: 5. Записываем каноническое уравнение (17) пары совпадающих плоскостей:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|