Алгоритм составления канонического уравнения

                 .

     Если  и , то вычислить семиинвариант

                                .

     2. По табл. 11.1 определить название поверхности, а по названию –каноническое уравнение поверхности второго порядка.

     3. Составить характеристическое уравнение ,

используя коэффициенты, вычисленные в п.1, либо разлагая определитель

     .

Найти корни , ,  (с учетом кратности) характеристического уравнения.

     4. Занумеровать корни , ,  характеристического уравнения в соответствии с правилами:

     а) если поверхность эллиптического типа, то ;

     б) если поверхность гиперболического типа, то обозначить через  и  корни одного знака так, чтобы , а через  – корень противоположного знака;

     в) если поверхность параболического типа, то

             – если нулевой корень двойной, то  и ;

             – если нулевой корень простой, а ненулевые корни одного знака, то  и ;

             – если нулевой корень простой, а ненулевые корни разных знаков, то  и либо , если  или , либо , если  и .

     5. Вычислить коэффициенты канонического уравнения и записать его в канонической системе координат :

     а) для поверхностей эллиптического типа:

        (1) – при  – уравнение эллипсоида  с коэффициентами , , ;

Таблица 11.1. Классификация поверхностей второго порядка

	Признаки							Название  поверхности	№
Центральные  поверхности		Эллиптический тип						Эллипсоид
								Мнимый эллипсоид
								Мнимый конус
		Гиперболический тип						Однополостный гиперболоид
								Двуполостный гиперболоид
								Конус
Нецентральные поверхности		Параболический тип						Эллиптический параболоид
								Гиперболический параболоид
								Эллиптический цилиндр
								Мнимый эллиптический цилиндр
								Пара мнимых пересекающихся плоскостей
								Гиперболический цилиндр
								Пара пересекающихся плоскостей
								Параболический цилиндр
								Пара параллельных плоскостей
								Пара мнимых параллельных плоскостей
								Пара совпадающих плоскостей

        (2) при  – уравнение мнимого эллипсоида  с коэффициентами , , ;

       (3) при  – уравнение мнимого конуса  с коэффициентами , , ;

     б) для поверхностей гиперболического типа:

       (4) при  – уравнение однополостного гиперболоида  с коэффициентами , , ;

       (5) при  – уравнение двуполостного гиперболоида  с коэффициентами , , ;

       (6) при  – уравнение конуса  с коэффициентами , , ;

     в) для поверхностей параболического типа:

       (7) при  – уравнение эллиптического параболоида  с коэффициентами , ;

       (8) при  – уравнение гиперболического параболоида  с коэффициентами , ;

       (9) при , ,  – уравнение эллиптического цилиндра  с коэффициентами , ;

       (10) при , ,  – уравнение мнимого эллиптического цилиндра  с коэффициентами , ;

       (11) при , ,  – уравнение пары мнимых пересекающихся плоскостей  с коэффициентами , ;

       (12) при , ,  – уравнение гиперболического цилиндра  с коэффициентами , ;

       (13) при , ,  – уравнение пары пересекающихся плоскостей  с коэффициентами , ;

       (14) при , ,  – уравнение параболического цилиндра  с коэффициентом ;

       (15) при , , ,  – уравнение пары параллельных плоскостей  с коэффициентом ;

       (16) при , , ,  – уравнение пары мнимых параллельных плоскостей  с коэффициентом ;

       (17) при , , ,  – уравнение пары совпадающих плоскостей .

     Пример 11.10. Определить названия и составить канонические уравнения алгебраических поверхностей второго порядка, заданных в прямоугольной системе координат  уравнениями:

     а) ;

     б)  при ,  или ;

     в) ;   

     г) ;

     д) ;

     е)  при  или ;

     ж) ;

     з) ;

     и) .

     o а) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , , .

     1. Вычисляем инварианты: ,

, ,  

             .

     2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает эллипсоид, так как , , .

     3. Составляем характеристическое уравнение

и находим его корни:  (двойной корень),  (простой корень).

     4. Поскольку поверхность эллиптического типа, то корни уравнения обозначим , , чтобы выполнялось условие

                                                   .

     5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения эллипсоида:

, , .

     Таким образом, каноническое уравнение (1) заданной поверхности имеет вид

                                             .

     б) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , .  

     1. Вычисляем инварианты: ,

  ,

                 ,

.

     2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает поверхность гиперболического типа, так как . При  получаем уравнение однополостного гиперболоида, так как , при  – уравнение конуса, так как , при  – уравнение двуполостного гиперболоида, так как .

     3. Составляем характеристическое уравнение

и находим его корни: , ,  (все корни простые).

     4. Поскольку поверхность гиперболического типа, то корни уравнения обозначим , , т.е.  и  корни одного знака, причем , а  – корень противоположного знака.

     5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения:

     – однополостного гиперболоида (при ):

, , ,

следовательно, каноническое уравнение (4) имеет вид

                                             ;

     – конуса (при ):

    , , ;

следовательно, каноническое уравнение (6) имеет вид

                                             ;

     – двуполостного гиперболоида (при ):

, , ;

следовательно, каноническое уравнение (5) имеет вид

                                            .

     в) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , , .

     1. Вычисляем инварианты: ,

         , ,

            .

     2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает эллиптический параболоид, так как , .

     3. Составляем характеристическое уравнение

и находим его корни:  (двойной корень),  (простой корень).

     4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни уравнения обозначим следующим образом:  – единственный нулевой корень; так как ненулевые корни одного знака, то , чтобы выполнялось условие .

     5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения эллиптического параболоида:

    ,    .

     Таким образом, каноническое уравнение (7) заданной поверхности имеет вид

                                                 .

     г) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , , .

     1. Вычисляем инварианты: ,

  ,

                ,

                                .

     2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает гиперболический параболоид, так как , .

     3. Составляем характеристическое уравнение  и находим его корни: , ,  (все корни простые).

     4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни характеристического уравнения обозначим следующим образом:  – единственный нулевой корень; так как ненулевые корни разных знаков и , то , тогда .

     5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения гиперболического параболоида:

, .

     Таким образом, каноническое уравнение (8) заданной поверхности имеет вид

                                                 .

     д) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , , .

     1. Вычисляем инварианты: ,

           ,

              ,      .

Так как , то вычисляем семиинвариант:

.

     2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает эллиптический цилиндр, так как , , , .

     3. Составляем характеристическое уравнение  и находим его корни: , ,  (все корни простые).

     4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни уравнения обозначим следующим образом:  – единственный нулевой корень; так как ненулевые корни одного знака, то , , чтобы выполнялось условие .

     5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения эллиптического цилиндра:

             , .

     Таким образом, каноническое уравнение (9) заданной поверхности имеет вид

                                                  .

     е) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , .

     1. Вычисляем инварианты: ,

                         ,

, .

Так как , то вычисляем семиинвариант:

.

     2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает поверхность параболического типа, так как . При  получаем уравнение гиперболического цилиндра, так как , , ; при  – уравнение пары пересекающихся плоскостей, так как , , .

     3. Составляем характеристическое уравнение

и находим его корни: , ,  (все корни простые).

     4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни характеристического уравнения обозначим следующим образом:  – единственный нулевой корень; так как ненулевые корни разных знаков и , то , тогда  (при  имеем  и , а при  имеем ).

     5. Вычисляем коэффициенты канонического уравнения:

     – гиперболического цилиндра (при ):

          ,     ;

следовательно, каноническое уравнение (12) имеет вид

                                                    ;

     – пары пересекающихся плоскостей (при ):

                               ,     ;

следовательно, каноническое уравнение (13) имеет вид

                                                    .

     ж) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , , .

     1. Вычисляем инварианты: ,   

, ,

                                        .

Так как , то вычисляем

.

     2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает параболический цилиндр, так как , , , .

     3. Составляем характеристическое уравнение  и находим его корни:  (двойной корень),  (простой корень).

     4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни уравнения обозначим следующим образом:  – двойной нулевой корень,    а  – ненулевой корень.

     5. Вычисляем коэффициент канонического уравнения параболического цилиндра:

                                        .

     Таким образом, каноническое уравнение (14) заданной поверхности имеет вид

                                                    .

     з) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , , .

     1. Вычисляем инварианты: , 

                        ,

                 ,  .

Так как , то вычисляем

        .

Так как  и , то вычисляем

                       .

     2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает пару параллельных плоскостей, так как , , , , .

     3. Составляем характеристическое уравнение  и находим его корни:  (двойной корень),  (простой корень).

     4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни уравнения обозначим следующим образом:  – двойной нулевой корень,    а  – ненулевой корень.

     5. Вычисляем коэффициент канонического уравнения пары параллельных плоскостей:

                                                .

     Таким образом, каноническое уравнение (15) заданной поверхности имеет вид

                                                  .

     и) Определяем коэффициенты уравнения: , , , , , , , , , .

     1. Вычисляем инварианты: ,

                              ,

                        , .

Так как , то вычисляем

      .

Так как  и , то вычисляем

                     .

     2. По табл. 11.1 определяем, что уравнение задает пару совпадающих плоскостей, так как , , , , .

     3. Составляем характеристическое уравнение  и находим его корни:  (двойной корень),  (простой корень).

     4. Поскольку поверхность параболического типа, то корни уравнения обозначим следующим образом:  – двойной нулевой корень,    а  – ненулевой корень.

     5. Записываем каноническое уравнение (17) пары совпадающих плоскостей:

                                                         . n