![]()
|
|||||||
Как найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке?Стр 1 из 2Следующая ⇒ Как найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке?
Сегодня на уроке я расскажу вам об одном популярном приложении дифференциального исчисления функции двух переменных, а именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой. В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность Определение 1: касательная плоскость к поверхности в точке Определение 2: нормаль к поверхности в точке Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений. С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали: Пример 1 Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности Решение:если поверхность задана уравнением Особое внимание обращаю на необычные частные производные Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке: Аналогично: Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент. Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями: Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания Теперь «снимаем» коэффициенты В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет Ответ: Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему. Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»: Пример 2 Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности И задание, интересное с технической точки зрения: Пример 3 Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой. А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма. Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока. В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости. Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:
|
|||||||
|