Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных функций.

1. Интегралы вида путём выделения полного квадрата в знаменателе подынтегрального выражения сводится к одному из двух интегралов:

(1)

(2),где .

Пример 1. Найти интеграл .

Решение.

2. Интегралы вида сводятся к интегралу (1) или (2) и интегралу , который можно вычислить с помощью замены . Что разбить исходный интеграл на два более простых, числитель подынтегрального выражения представляют в виде суммы (разности) двух выражений, одно из которых совпадает с производной знаменателя.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. а) Вычисляем производную знаменателя подынтегрального выражения:

;

б) разобьём числитель подынтегрального выражения на сумму, одно из слагаемых которой равно :

;

в) представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:

;

г) вычислим каждый из полученных интегралов:

;

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование рациональных функций. Стр. 1

д) запишем ответ с учётом коэффициентов, стоящих перед интегралами:

3. Нахождение интегралов вида , где - правильная рациональная дробь, т.е. ( ), основано на разложении рациональной дроби на сумму простых (элементарных) дробей, т.е. дробей вида

; ,

где - натуральные числа, - действительные числа, (корни трёхчлена являются комплексными числами).

Перед интегрированием рациональной дроби надо сделать следующие преобразования и вычисления:

а)Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на линейные множители и квадратичные множители, не имеющие действительных корней: , причём .

б)Правильную рациональную дробь разложить на сумму простых дробей:

, где - это неопределённые коэффициенты, которые находятся из условия тождественного равенства по х между правильной рациональной дробью и суммой простых дробей.

в)Вычислить неопределенные коэффициенты, для этого

· привести простые дроби к общему знаменателю;

· приравняв числители равных дробей, имеющих равные знаменатели, получить тождественное равенство двух целых многочленов;

· приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в тождественно равных многочленах, получить и решить систему уравнений для неопределённых коэффициентов.

Вместо приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х можно использовать метод частных значений х, суть которого состоит в том, что тождественно равные многочлены принимают одинаковые значения при любых конкретных значениях х, поэтому достаточно подставить в равенство числителей несколько удобных значений х и получить в результате уравнения для неопределённых коэффициентов. На практике можно комбинировать метод частных значений х с приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях х.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование рациональных функций. Стр. 2

Пример 3. Найти интеграл .