![]()
|
|||||||
Интегрирование рациональных функций.Стр 1 из 2Следующая ⇒ Интегрирование рациональных функций. 1. Интегралы вида Пример 1. Найти интеграл Решение.
2. Интегралы вида Пример 2. Найти интеграл Решение. а) Вычисляем производную знаменателя подынтегрального выражения:
б) разобьём числитель подынтегрального выражения на сумму, одно из слагаемых которой равно
в) представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:
г) вычислим каждый из полученных интегралов:
; ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Интегрирование рациональных функций. Стр. 1 д) запишем ответ с учётом коэффициентов, стоящих перед интегралами:
3. Нахождение интегралов вида где
Перед интегрированием рациональной дроби а)Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на линейные множители и квадратичные множители, не имеющие действительных корней: б)Правильную рациональную дробь разложить на сумму простых дробей:
в)Вычислить неопределенные коэффициенты, для этого · привести простые дроби к общему знаменателю; · приравняв числители равных дробей, имеющих равные знаменатели, получить тождественное равенство двух целых многочленов; · приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в тождественно равных многочленах, получить и решить систему уравнений для неопределённых коэффициентов. Вместо приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х можно использовать метод частных значений х, суть которого состоит в том, что тождественно равные многочлены принимают одинаковые значения при любых конкретных значениях х, поэтому достаточно подставить в равенство числителей несколько удобных значений х и получить в результате уравнения для неопределённых коэффициентов. На практике можно комбинировать метод частных значений х с приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях х.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Интегрирование рациональных функций. Стр. 2 Пример 3. Найти интеграл Решение. Т.к. знаменатель дроби разложен на множители, то сразу выполним разложение подынтегральной функции на сумму простых дробей:
Приводим к общему знаменателю сумму простых дробей:
Приравниваем числители дробей, имеющих одинаковые знаменатели:
Раскроем в правой части равенства скобки и сгруппируем слагаемые по степеням х:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем и решаем систему уравнений относительно коэффициентов А, В, С:
|
|||||||
|