Заключение

Заключение

В начале XIX века происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математического аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред, из которых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была создана ещё в XVIII веке Д. Бернулли, Л. Эйлером, Ж. Д’Аламбером и Ж. Лагранжем. Быстро растут и математические запросы техники.

В начале XIX века – это вопросы термодинамики паровых машин, технической механики, баллистики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала. В этом направлении работает большинство крупных аналитиков начала и середины века – К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, Дж. Грин, М. В. Остроградский. М. В. Остроградский заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных. В результате исследований по уравнениям математической физики в работах Дж. Стокса и других английских математиков возникает векторный анализ.

Несмотря на господствовавшее в естествознании начала XIX века механистическое убеждение в возможности описать все природные явления дифференциальными уравнениями, под давлением запросов практики получает значительное дальнейшее развитие теория вероятностей. П. Лаплас и С. Пуассон создают с этой целью новый мощный аналитический аппарат. П.Л. Чебышев даёт строгое обоснование элементов теории вероятностей и доказывает свою знаменитую теорему (1867), объединившую в одной общей формулировке известные ранее формы закона больших чисел.

Как уже отмечалось, наряду с развитием работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, чрезвычайное внимание математиков с самого начала XIX века привлекают вопросы строгого обоснования анализа (О. Коши, 1821, 1823). Н. И. Лобачевский (1834) и, позднее, П. Дирихле (1837) отчётливо сформулировали определение функции как совершенно произвольного соответствия. В 1799 К. Гаусс опубликовал первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного многочлена на действительные множители первой и второй степени). Лишь значительно позже (1831) К. Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел.

На основе ясного понимания природы комплексных чисел возникает теория функций комплексного переменного. К. Гаусс очень много знал в этой области, но почти ничего не опубликовал. Общие основы теории были заложены О. Коши, теория эллиптических функций была развита Н. Абелем и К. Якоби. Уже на этом этапе характерно, в отличие от чисто алгоритмического подхода XVIII века, сосредоточение внимания на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и основных господствующих здесь геометрических закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, открытой О. Коши).

Этот в известном смысле слова «качественный» и геометрический характер теории функций комплексного переменного ещё усиливается в середине XIX века у Б. Римана. Здесь оказывается, что естественным геометрическим носителем аналитической функции в случае её многозначности является не плоскость комплексного переменного, а так называемая риманова поверхность, соответствующая данной функции. К. Вейерштрасс достигает той же общности, что и Б. Риман, оставаясь на почве чистого анализа. Однако геометрические идеи Б. Римана оказываются в дальнейшем всё более определяющими весь стиль мышления в области теории функций комплексного переменного.

В период увлечения теорией функций комплексного переменного крупнейшим представителем интереса к конкретным вопросам теории функций в действительной области является П. Л. Чебышев. Наиболее ярким выражением этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854) П.Л. Чебышевым, исходившим из запросов теории механизмов, теория наилучших приближений.

Лишь в начале 70-х годов XIX века Ф. Клейн находит модель неевклидовой геометрии Лобачевского, которая окончательно устраняет сомнения в её непротиворечивости. Ф. Клейн подчиняет (1872) всё разнообразие построенных к этому времени «геометрий» пространств различного числа измерений идее изучения инвариантов той или иной группы преобразований. В это же время (1872) работы по обоснованию анализа получают необходимый фундамент в виде строгой теории иррациональных чисел (Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс). В 1879-84 публикуются основные работы Г. Кантора по общей теории бесконечных множеств. Только после этого могли быть сформулированы современные общие представления о предмете М., строении математической теории, роли аксиоматики и т. д. Широкое их распространение потребовало ещё нескольких десятилетий (общее признание современной концепции строения геометрии обычно связывается с выходом в свет в 1899 «Оснований геометрии» Д. Гильберта).

Список использованной литературы

1. Виноградов И. М., Математика и научный прогресс, в книге: Ленин и современная наука, кн. 2, М., 1970.

2. Математика. [Сборник статей], М. — Л., 1932 (Наука в СССР за 15 лет. 1917—1932).

3. Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947.

4. Сборник статей, М. — Л. 1948; Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957.

5. Сборник статей, т. 1, М., 1959; Weyl H., A Half-century of mathematics, «American Mathematical Monthly», 1951, v. 58, № 8, p. 523—53.

6. Энциклопедия элементарной математики, кн. 1—5, М. — Л., 1951—66.

7. Вебер Г. и Вельштейн И., Энциклопедия элементарной математики, перевод с немецкого, т. 1—3, 2 изд., Одесса, 1911—14.

8.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:LL_deMorgan.png

В разделе 1 Прикладные аспекты математики 19 века написано много о развитии математики в 19 веке, необходимо более четко отразить прикладную направленность математики конкретными применениями в естественных науках и экономике. Нужно каждый пункт этого раздела дополнить соответствующими применениями его в физике, технике, астрономии, экономике, кристаллографии. В интернете найти применение математики в 19 веке в истории естествознания. Гаусс, Лобачевский, Риман. Распространение математического стиля мышления на все науки.

Посмотрите книгу Ф.Клейна. Лекции о развитии математики в 19 столетии. В 2-х томах. Т. 1: Пер. с нем./Под. Ред. М.М.Постникова. –М.: Наука, Гл. ред. Физ.- мат. лит., 1989. -456 с.

⇐ Предыдущая 12