Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность плоскостей

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между этими плоскостями равен 90^∘ .

Признак перпендикулярности двух плоскостей

Теорема.Пусть нам даны плоскости α и β, которые пересекаются по прямой AC. Пусть прямая AB, лежащая в плоскости α перпендикулярна плоскости β

Доказательство:Так как прямая AB перпендикулярна плоскости β, то она перпендикулярна и прямой AC. Проведем дополнительно прямую AD в плоскости β, перпендикулярно прямой AC. Получаем, что угол BAD - линейный угол двугранного угла, равный 90∘. То есть, по определению 1, угол между плоскостями равен 90∘, значит, данные плоскости перпендикулярны. Теорема доказана.

Теорема.Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две другие плоскости, то она перпендикулярна и этим плоскостям.

Доказательство. Пусть нам даны две плоскости α и β, пересекающиеся по прямой c. Плоскость γ перпендикулярна прямой c. Так как прямая c принадлежит плоскости α и плоскость γ перпендикулярна прямой c, то, по теореме 1, плоскости α и γ перпендикулярны. Так как прямая c принадлежит плоскости β и плоскость γ перпендикулярна прямой c, то, по теореме 1, плоскости β и γ перпендикулярны. Теорема доказана.

Задача 1. Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две наклонные АВ и АС. Известно, что ∠OAB= ∠BAС = 60°, АО = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Задача 2. Из точки D, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней две наклонные DA и DB, равные соответственно 18 см и 10 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16 см. Найдите проекцию каждой из наклонных

Решение:
1. Пусть точка C - основание перпендикуляра опущенного из точки D на плоскость . Тогда по определению отрезки CА и CВ - соответственно проекции наклонных DA и DB. По условию CА+CВ=16 см. 2. Рассмотрим треугольник DСA, в нем угол С=90o; DA=18 м (по условию); По теореме Пифагора DC2=DA2-AC2; DC2=182-AC2; DC2=324-AC2;
3. Рассмотрим треугольник ВСD, в нем угол С=90o; DВ=10 м (по условию); По теореме Пифагора DC2=DВ2-СВ2; DC2=102-СВ2; DC2=100-СВ2;
4 Из пунктов 2 и 3 решения следует, что 324-AC2=100-СВ2.
5. Из пунктов 1 и 4 получаем CА-CВ=14 см и снова учитывая, что CА+CВ=16 см находим ответ CА=15 см, CВ=1 см.
Ответ:1 см и 15 см.

Задача 3. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если АВ = 6 см.

⇐ Предыдущая 12