Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Тема:Перпендикулярность прямой и плоскости.

План занятия:

1. Перпендикулярные прямые в пространстве

2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

3.Теорема о трех перпендикулярах. Обратная теорема

Вопрос 1.Перпендикулярные прямые в пространстве

Определение.Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.Обозначение. .

Рис. 1.

Лемма: Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: a || b, a

c Доказать: b

Доказательство: Через т.М | М

a, М

b и М

c проведем прямые MA || a и MC || c. Так как a

c (по условию), то

АМС =90⁰. По условию a || b и MA || a (по построению) значит, b || MA (по теореме о трех параллельных прямых). Тогда прямые b и c параллельны соответственно МА и МС, угол между которыми 90⁰

c, что и требовалось доказать.

Вопрос 2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Определение:Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. (Возможна запись: a

или

a). Прямая, перпендикулярная к плоскости пересекает эту плоскость. a

b, a

c, a

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна к этой плоскости. Дано: a || b, a

. Доказать: b

Доказательство: Проведем в плоскости

произвольную прямую с. Так как a

, то a

с (по определению). Согласно лемме, если а перпендикулярна с, то и b, параллельная а также перпендикулярна с. Так как с – произвольная прямая, то b перпендикулярна

. (по определению). Что и требовалось доказать.

Теорема (обратная): Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема: Если прямая, не лежащая в плоскости перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то прямая и плоскость перпендикулярны. Дано: m

, n

, m x n=0, l

m, l

n Доказать: l

Доказательство:Проведем прямую p так, чтобы O

p и p || l. l

m, l

n и p || l

n и p

m. Пусть P и P₁ – точки прямой p такие, что OP=OP₁. Тогда m и n –оси симметрии и значит,

- плоскость симметрии для этих точек, а следовательно, p

. p

и p || l

. Что и требовалось доказать.

Свойства перпендикулярной прямой и плоскости:

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Если две плоскости и перпендикулярны к прямой а ,то они параллельны.
Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

Вопрос 3.Теорема о трех перпендикулярах. Обратная теорема

Теорема. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство: Пусть АВ - перпендикуляр плоскости , АС - наклонная и с - прямая в плоскости , проходящая через основание С.
Проведем прямую СA1, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости . Проведем через прямые АВ и СA1 плоскость . Прямая сперпендикулярна прямой СA1. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой АС.
АНАЛОГИЧНО. Если прямая с перпендикулярна наклонной АС то она, будучи перпендикулярна и прямой СA1 перпендикулярна плоскости , а значит, и проекции наклонной СВ. Теорема доказана.

12 Следующая ⇒