Расстояние между прямой и плоскостью

Расстояние между прямой и плоскостью

Расстояние между прямой и плоскостью определяется в случаях, когда прямая параллельна плоскости. Тогда все точки прямой а равноудалены от плоскости α. Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр АА₀ на плоскость α (рис. 4). Длина перпендикуляра АА₀ и называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α.

Обозн.: АА₀ = р(а; α).

Вопрос 3.Примеры

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Используем формулу:

В этой формуле числа A, B и C координаты вектора , а числа x₀, y₀ и z₀ - координаты точки .

Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем

Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:

Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.

Итак, уравнение вида

называется общим уравнением плоскости.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору

Решение.

Пример 3. Составить уравнение плоскости P, проходящей через ось Oy и точку M(3,-5,2).

Решение. Уравнение плоскости в общей форме:
A∙x+B∙y+C∙z+D=0
По условию задачи плоскость проходит через точку М (3;-5;2), то есть точка М также принадлежит плоскости:
A∙3-B∙5+C∙2+D=0
Кроме того, плоскость проходит через ось OY, уравнение которой:
x=0, z=0, откуда:
B∙y+D=0,
Поэтому:
A∙3+C∙2=0
Решением этого уравнения является, например:
A=2, C=-3
Таким образом, уравнение плоскости:
2∙x-3∙z=0

⇐ Предыдущая 12