Расстояние между параллельными плоскостями

Тема:Уравнение плоскости

План занятия:

1. Уравнение плоскости

2. Расстояние от точки до плоскости

3. Примеры

Вопрос 1. Уравнение плоскости

Уравнение с тремя переменными x, у, z называетсяуравнениемданнойповерхностиP в системе координат Охуz, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности Р и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. Из всех возможных поверхностей нас будет интересовать уравнение плоскости.

Пусть дана некоторая точка M₀(x₀;y₀;z₀) и ненулевой вектор . Через точку M₀ можно провести только одну плоскость α перпендикулярную вектору (рис. 1).

Рис. 1.

Выведем уравнение плоскости α. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости α только тогда, когда вектор перпендикулярен вектору . Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ перпендикулярно вектору , можно записать в виде: . Вектор в уравнении называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.

Пусть координаты вектора равны . И обозначим координаты произвольной точки М через x, y и z. Тогда вектор имеет координаты .

Теперь можно записать уравнение плоскости через координаты вектора и вектора :

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку M₀(x₀;y₀;z₀) перпендикулярно вектору (А; В; С). Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, обозначив слагаемые, не содержащие переменные за D:

;

Вопрос 2. Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим плоскость α и точку А, которая лежит вне этой плоскости (рис. 2). Как известно, из точки А можно провести единственную прямую АH перпендикулярную плоскости α. Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, .

Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.

Определение. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α. То есть, перпендикуляр – это отрезок.

Определение. Пусть точка М другая произвольная точка плоскости α. Тогда отрезок АМ называется наклонной, а отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α.

Определение. Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. Обозн.: ρ(А; α) = АН. Заметим, что АН – наименьшее из расстояний между точкой А и любой точкой плоскости. Действительно, в прямоугольном треугольнике АНМ перпендикуляр (катет АН) короче наклонной (гипотенузы АМ).

Расстояние между параллельными плоскостями

Плоскость α и плоскость β параллельны. На плоскости β выберем произвольную точку А (рис. 3). Из точки А опустим перпендикуляр АА₀ на плоскость α. Перпендикуляр АА₀ и назовем расстоянием между плоскостями α и β.

Заметим, что длина этого перпендикуляра не зависит от того, какую точку мы выбрали.

Например, выберем другую точку В, опустим перпендикуляр ВВ₀. Прямые АА₀ и ВВ₀ перпендикулярны одной и той же плоскости, значит, прямые АА₀ и ВВ₀ параллельны. Тогда из свойств параллельных плоскостей отрезки АА₀ и ВВ₀равны.

12 Следующая ⇒