![]()
|
|||
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ПЛАН ЛЕКЦИИ. I. Понятие случайной величины. II. Числовые характеристики случайных величин. III. Законы распределения дискретных случайных величинСтр 1 из 2Следующая ⇒ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ПЛАН ЛЕКЦИИ I. Понятие случайной величины II. Числовые характеристики случайных величин III. Законы распределения дискретных случайных величин
I. Понятие случайной величины. Случайной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Будем обозначать случайные величины Дискретной (или прерывной) называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным). Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:
В одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, поэтому события
Пример 1. В лотерее участвует 100 билетов. Разыгрывается 5 выигрышей по 300 рублей, 10 выигрышей по 200 рублей и 25 выигрышей по 100 рублей. Найти закон распределения случайной величины Решение. Случайная величина
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат строят точки с координатами Пример 2. Построить многоугольник распределения для закона распределения из примера 1.
II. Числовые характеристики случайных величин. Часто закон распределения случайной величины бывает неизвестен, и приходится пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называются числовыми характеристиками случайных величин. Основными числовыми характеристиками дискретных и непрерывных случайных величин являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
Первая из формул (3) справедлива для конечного числа возможных значений дискретной случайной величины, вторая – для бесконечного. Математическое ожидание является неслучайной (постоянной) величиной. Пусть вероятность события Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Размерность математического ожидания совпадает с размерностью случайной величины Свойства математического ожидания: 1) математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине,
2) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания,
3) для формулировки следующего свойства математического ожидания дадим определения. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные. Определим произведение независимых случайных величин
Следствие свойства 3: математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий,
4) определим сумму случайных величин
Следствие свойства 4: математическое ожидание суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий,
Отклонением называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием. Математическое ожидание отклонения случайной величины равно нулю:
Центрированной случайной величиной
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Дисперсия случайной величины является неслучайной (постоянной) величиной. Теорема 1: дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины
Доказательство.
Теорема доказана. Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины Свойства дисперсии: 1) дисперсия постоянной величины
2) постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат,
3) дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин,
Следствия свойства 3: а) дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин,
б) дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины,
4) дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин,
Средним квадратическим отклонением случайной величины
Среднее квадратическое отклонение является неслучайной (постоянной) величиной. Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью случайной величины Теорема 2: среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин,
Доказательство. По свойствам дисперсии (формула (17)), дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих величин
Тогда
Заменяя дисперсии под знаками радикалов на соответствующие квадраты средних квадратических отклонений, получим
Теорема доказана.
|
|||
|