Правило треугольника.. Скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов

Вначале повторим:

1. Определение. Вектор – это направленный отрезок, обозначение

2. Операции с векторами.

а) Сложение векторов.

Правило параллелограмма.

Правило треугольника.

b) Разность векторов

Разность b – a векторов a и b вычисляется по правилу треугольника:

Объединим концы векторов a и b:

Разность b – a будет вектор у которого начало совпадает с концом вектора a, а конецс концом вектора b:

c) Умножение вектора на число.

4. Угол между векторами.

5. Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними.

Заметим, что – это проекция вектора на направление вектора . Из определения следует, что скалярное произведение векторов – это число, характеризующее взаимное расположение векторов.

1. Анализ формулы скалярного произведения векторов

Рассмотрим некоторые частные случаи взаимного расположения векторов.

1. Перпендикулярные векторы.

Если , то и .

Сила в направлении не совершает никакой работы, скалярное произведение Обратно: если , то в силу равенства .

Получаем следующий важный вывод: Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.

2. Коллинеарные векторы.

Рассмотрим коллинеарные векторы: они могут быть сонаправлены или противоположно направлены.

а) Сонаправленные векторы.

, поэтому Таким образом,

б) Противоположно направленные векторы.

, поэтому

Таким образом,

12 Следующая ⇒