|
|||
Тема:. Тригонометрические ряды ФурьеСтр 1 из 2Следующая ⇒ Тема:. Тригонометрические ряды Фурье Тригонометрический ряд. Разложение функций в степенные ряды, т.е. разложения сложных функций на простые степенные функции вида , не всегда возможны и не всегда удобны в приложениях. При изучении сложных периодических процессов естественно возникает задача о представлении функций, описывающих эти процессы в виде суммы конечного или бесконечного числа простых периодических функций. В качестве таких функций берутся функции вида , или, что то же самое, функции вида . Если , то функция является постоянной, а если , то она является периодической с периодом . В частности, каждая простая гармоника с , где , имеет в качестве одного из своих периодов. Рассмотрим задачу о разложении -периодической функции в ряд вида: где -- некоторые числа. Такие ряды называются тригонометрическими, а числа их коэффициентами. Член называется свободным членом (в виде он берется для удобства). Определение. Тригонометрическим рядом Фурье для функции на отрезке называется ряд вида , коэффициенты которого, называемые коэффициентами Фурье для функции , вычисляются по следующим формулам: ; Условия, которые достаточно наложить на функцию для того, чтобы её ряд Фурье сходился во всём промежутке разложения, определяются теоремой Дирихле: Если функция , заданная на отрезке , удовлетворяет в этом промежутке условиям Дирихле, т.е. 1) непрерывна за исключением только конечного числа точек разрыва I рода; 2) имеет конечное число экстремумов, то ряд Фурье этой функции сходится на всём отрезке и сумма этого ряда: равна во всех точках непрерывности данной функции, лежащих внутри промежутка : ; равна во всех точках разрыва: ; равна на концах промежутка: Так как члены ряда – функции периодические с периодом , то из сходимости ряда на отрезке вытекает его сходимость на всей числовой оси, причем сумма этого ряда является периодической функцией с тем же периодом . Тогда для того, чтобы ряд Фурье функции сходился именно к этой функции на всей числовой оси, надо и её считать периодической с периодом .
|
|||
|