![]()
|
|||||||
Инструкция по выполнению:. Лекция «Равносильность уравнений». Теоремы о равносильности уравнений.Стр 1 из 2Следующая ⇒ Инструкция по выполнению:
Лекция «Равносильность уравнений» Определение 1:Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называются равносильными, если множества их корней совпадают. Определение 2:Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) (1) является в тоже время корнем уравнения p(x)=h(x) (2), то уравнение (2) называют следствиемуравнения (1). (1)→(2) Очевидно: Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого. (1)↔(2) Схема решения любого уравнения: 1.Технический этап. Осуществляется преобразование уравнения(1)→(2)→(3)→(4) … 2. Анализ решения. Все ли преобразования были равносильными? 3.Проверка. Реализация данного плана связана с поиском ответов на четыре вопроса: 1. Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием? 2. Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие? 3. Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями? 4. В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить? 1.Теоремы о равносильности уравнений. «спокойные» теоремы: Теорема 1. Если какой либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 3. Показательное уравнение а f(x) =а g(x) ( где а>0, а≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x).
«беспокойные» теоремы: Определение: Областью определения уравненияf(x)=g(x) или областью допустимых значений (ОДЗ) переменной называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).
Теорема 4.Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), которое: А) имеет смысл всюду в области определения (в ОДЗ) уравнения f(x)=g(x) Б) нигде в этой области не обращается в 0 – то получится уравнение f(x) h(x)=g(x) h(x), равносильное данному. Следствие(«спокойное» утверждение): Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 5.Если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение, равносильное данному f(x) n =g(x) n. Теорема 6.Если f(x) >0 и g(x) >0, то логарифмическое уравнение logаf(x)= logа g(x), где а>0, а≠1, равносильно уравнению f(x)=g(x).
|
|||||||
|