Инструкция по выполнению:. Лекция «Равносильность уравнений». Теоремы о равносильности уравнений.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Инструкция по выполнению:

Ознакомиться с теоретическим материалом;
Законспектируйте вкратце, выписав основные определения, формулы и т.д.;
Фото проделанной работы отправить в личные сообщения https://vk.com/id386892400, либо на почту nemkova.anna96@mail.ru, либо в WhatsApp на номер 89876059849 не позднее установленного срока.

Лекция «Равносильность уравнений»

Определение 1:Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x)

называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Определение 2:Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) (1)

является в тоже время корнем уравнения p(x)=h(x) (2),

то уравнение (2) называют следствиемуравнения (1).

(1)→(2)

Очевидно: Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

(1)↔(2)

Схема решения любого уравнения:

1.Технический этап. Осуществляется преобразование уравнения(1)→(2)→(3)→(4) …

2. Анализ решения. Все ли преобразования были равносильными?

3.Проверка.

Реализация данного плана связана с поиском ответов на четыре вопроса:

1. Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?

2. Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?

3. Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?

4. В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

1.Теоремы о равносильности уравнений.

«спокойные» теоремы:

Теорема 1. Если какой либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение а ^f⁽^x⁾ =а ^g⁽^x⁾ ( где а>0, а≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x).

«беспокойные» теоремы:

Определение: Областью определения уравненияf(x)=g(x) или областью допустимых значений (ОДЗ) переменной называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).

Теорема 4.Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), которое:

А) имеет смысл всюду в области определения (в ОДЗ) уравнения f(x)=g(x)

Б) нигде в этой области не обращается в 0 –

то получится уравнение f(x) h(x)=g(x) h(x), равносильное данному.

Следствие(«спокойное» утверждение): Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5.Если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение, равносильное данному f(x) ⁿ =g(x) ⁿ.

Теорема 6.Если f(x) >0 и g(x) >0, то логарифмическое уравнение log_аf(x)= log_а g(x), где а>0, а≠1, равносильно уравнению f(x)=g(x).

12 Следующая ⇒