Решение задачи на разложение вектора по трем некомпланарным
Решение задачи на разложение вектора по трем некомпланарным
Задача 1: дан куб с ребром m. Точка К – середина ребра . Разложить вектор по векторам и найти его длину.
Решение: построим заданный куб (рис. 3).

Рис. 3. Куб, задача 1
Векторами и задается плоскость квадрата . Третий вектор не лежит в этой плоскости, отсюда заключаем, что три заданных вектора , и некомпланарны, и мы можем выразить через них искомый вектор . Найдем вектор по правилу многоугольника. Очевидно, что в данной задаче для этого есть множество способов, но мы выбираем самый короткий путь: . вектор мы по условию обозначили как вектор . Вектор согласно свойствам куба равен вектору , обозначенному за вектор .
вектор составляет половину вектора , так как точка К – середина ребра по условию: . Вектор согласно свойствам куба, равен вектору , обозначенному как вектор . Имеем: 
Так, заданный вектор выражен через три некомпланарных вектора. Осталось найти его длину. Здесь нужно применить теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Он прямоугольный потому, что ребро перпендикулярно всей плоскости основания , значит и любой прямой в этой плоскости, значит прямой . Один из катетов равен m как ребро куба. Катет найдем из другого прямоугольного треугольника – , где он уже является гипотенузой. Здесь катет равен m как ребро куба. Катет равен , так как точка К – середина ребра . Имеем: 
Вернемся к первому треугольнику: 
|