Расход топлива на 100 км пробега

Расход топлива на 100 км пробега

Марка машин № 1

------------------------------------

N п/п Расход Откл-я Квадраты

топлива отклонений

------------------------------------

1 6. 80 -0. 02900 0. 00100

2 5. 59 -1. 24000 1. 53800

3 6. 56 -0. 26900 0. 07200

4 6. 91 0. 08100 0. 00700

5 7. 13 0. 30100 0. 09100

6 6. 83 0. 00100 0. 00000

7 6. 79 -0. 03900 0. 00200

8 6. 48 -0. 34900 0. 12200

9 7. 05 0. 22100 0. 04900

10 5. 86 -0. 96900 0. 93900

11 6. 27 -0. 55900 0. 31200

12 6. 97 0. 14100 0. 02000

13 7. 80 0. 97100 0. 94300

14 6. 99 0. 16100 0. 02600

15 6. 97 0. 14100 0. 02000

16 7. 20 0. 37100 0. 13800

17 6. 67 -0. 15900 0. 02500

18 8. 32 1. 49100 2. 22300

19 6. 71 -0. 11900 0. 01400

20 7. 02 0. 19100 0. 03600

21 6. 79 -0. 03900 0. 00200

22 6. 53 -0. 29900 0. 08900

23 7. 15 0. 32100 0. 10300

24 6. 50 -0. 32900 0. 10800

------------------------------------

∑ =163. 8900 ∑ =6. 88000

: 24 : 23

Оц. м. о. 6. 82875 Оц. дисп. D=0. 29913

Оц. сигмы=σ =√ 0. 29913=0. 54693

2σ =1. 09386

------------------------------------

Далее опр. «σ оценки среднего»

(делим σ =0. 54693: √ 24=4. 89898)

σ _ср=0. 54693: 4. 89898=0. 11164 2σ _ср=0. 22328

------------------------------------

2σ =1. 09386 Дов. границы для самой сл. вел.:

Левая гр. =6. 82875-1. 09386=5. 73489

Правая гр. =6. 82875+1. 09386=7. 92261

«Правило 2σ » для ОТДЕЛЬНОГО значения

сл. величины=«95%-й доверительный интервал

для расхода топлива на отдельной машине»

представляет собой: [от 5. 73489, 7. 92261]

------------------------------------

2σ _ср=0. 22328 Дов. границы для среднего зн-я:

Левая гр. СРЕДНЕГО=6. 82875-0. 22328=6. 60547

Правая гр. СРЕДНЕГО=6. 82875+0. 22328=7. 05203

«Правило 2σ » для СРЕДНЕГО значения

сл. величины=95%-й доверительный интервал

для усредненного расхода топлива (может

использоваться для анализа расхода топли-

ва в совокупности, например в таксопарке: )

[6. 60547, 7. 05203]

------------------------------------

Постановка задачи

По результатам наблюдений за расходом топлива двух марок автомобилей (24 автомобиля марки №1 и 18 автомобилей марки №2) получены следующие статистические данные (см. стр. 1). Требуется подтвердить или опровергнуть гипотезу: «Средний расход топлива у обеих марок одинаков, расхождение фактических цифр обусловлено случайным разбросом».

Решение задачи строится на статистическом оценивании значимости разницы между средними значениями расхода топлива по двум маркам автомобилей. Решение: алгоритм (стр. 2) и расчет в соответствии с этим алгоритмом (стр. 1)

Расход топлива на 100 км пробега

Марка машин № 2

------------------------------------

N п/п Расход Откл-я Квадраты

топлива отклонений

------------------------------------

1 7. 33 -0. 01100 0. 00000

2 7. 74 0. 39900 0. 15900

3 7. 02 -0. 32100 0. 10300

4 6. 66 -0. 68100 0. 46400

5 7. 51 0. 16900 0. 02900

6 7. 51 0. 16900 0. 02900

7 8. 85 1. 50900 2. 27700

8 7. 15 -0. 19100 0. 03600

9 7. 20 -0. 14100 0. 02000

10 7. 68 0. 33900 0. 11500

11 6. 96 -0. 38100 0. 14500

12 7. 40 0. 05900 0. 00300

13 7. 61 0. 26900 0. 07200

14 7. 12 -0. 22100 0. 04900

15 7. 46 0. 11900 0. 01400

16 6. 86 -0. 48100 0. 23100

17 6. 83 -0. 51100 0. 26100

18 7. 24 -0. 10100 0. 01000

------------------------------------

Суммы 132. 1300 4. 01700

: 18 : 17

Оц. м. о. 7. 34056 Оц. дисп= 0. 23629

Извлекаем корень Оц. сигмы= 0. 48610

2 сигма=0. 97220

------------------------------------

Сигма оценки среднего (делим сигму=

делим 0. 48610 на √ 18=4. 24264)

σ _ср=0. 48610: 4. 24264=0. 11458 2σ _ср =0. 22915

------------------------------------

2 сигма=0. 97220

Левая гр. =7. 34056-0. 97220=6. 36835

Правая гр. =7. 34056+0. 97220=8. 31276

«Правило 2 сигм» для ОТДЕЛЬНОГО значения

сл. величины=95%-й доверительный интервал

для расхода топлива на отдельной машине:

[6. 36835, 8. 31276]

------------------------------------

2*сигма среднего=0. 22915

Левая гр. СРЕДНЕГО=7. 34056-0. 22915=7. 11141

Правая гр. СРЕДНЕГО=7. 34056+0. 22915=7. 56971

«Правило 2 сигм» для СРЕДНЕГО значения

сл. величины=95%-й доверительный интервал

для усредненного расхода топлива (может

использоваться для анализа расхода топли-

ва в совокупности, например в таксопарке: )

[7. 11141, 7. 56971]

------------------------------------

Сравнение выборочных средних

Проверка дисперсий

Проверяем, можно ли считать, что дисперсии выборок - одинаковы.

1. 1 Для этого большую оценку дисперсии делим на меньшую:

F_выч = 0. 29913/0. 23629 = 1. 2659

1. 2 Определяем 2 числа – «степени свободы» F-критерия:

первое – берем у большего (числителя) f₁ = 23

второе – берем у меньшего (знаменателя) f₂ = 17

1. 3 Определяем «табличное» значение F-критерия для 5% «уровня значимости» (вероятности

ошибочного выбора):

F_{табл 0. 05}(23, 17)=2. 2 = F_критич

1. 4 Сравниваем F_критичи F_выч:

Правило: «Если F_{выч <}F_{критич,}то различие оценок дисперсий статистически незначимо

на принятом уровне значимости».

В действительности F_выч = 1. 2659 < 2. 2= F_критич

Согласно правилу, это означает, что выборки в действительности имеют одинаковую дисперсию, а различие оценок обусловлено «случайностью» выборки.

(Точнее, это значит, что вероятность того, что они в действительности различны, не превышает 5%)

1. 5 Поскольку дисперсия – одна и та же, необходимо построить «общую оценку» этой «общей дисперсии». В качестве таковой следует принимать усредненную «общую сумму квадратов отклонений»:

общая оценка дисперсии = SS_общ=(6. 88000+4. 01700)/(24+18-2)=10. 897/40=0. 27243

(При усреднении общая сумма квадратов отклонений делится на общее «число степеней свободы», равное общему числу «экспериментальных точек»-2).

Сравнение оценок средних строится на проверке «значимости отклонения от нуля» разности между этими двумя «выборочными» средними.

2. 1 В качестве оценки среднеквадратического отклонения этой разности следует принимать корень квадратный из усредненной по числу наблюдений общей дисперсии (как средней гармонической по числу наблюдений):

S_x_-_y= √ (SS_общ*(1/24+1/18)) = √ (0. 27243*(1/24+1/18)) = 0. 16275

2. 2 Вычисляется значение «t-критерия Стьюдента»:

t_выч = abs(x-y) / S_x-y= (7. 34056 - 6. 82875) / 0. 16275 = 0. 51685/0. 16275=3. 17584

2. 3 Гипотеза «о равенстве средних» принимается на уровне значимости 5%, если

t_{выч <}t_табли отвергается в противном случае.

По таблице распределения Стьюдента с 40 степенями свободы находим:

t_табл= 2. 02

t_выч= 3. 17584 > 2. 02 = t_табл

Поэтому гипотеза о равенстве средних значений отвергается, то есть следует считать выборочные средние

х=6. 82875 и

у=7. 34056

разными числами (при уровне значимости 5%), которые можно принять за соответствующие оценки «генеральных средних» (математических ожиданий).

Это значит, что вероятность альтернативной гипотезы (то есть того, что в действительности средние - одинаковы) не превышает 5%.

Общий практический вывод

В результате проверки гипотезы о равенстве «выборочных средних» установлено, что их следует считать различными.

Какие последствия для практических выводов несет это решение?

Напомним, что в постановке задачи идет речь о расходе топлива (бензина) на 100 км пробега у двух марок автомобилей.

Установленный результат означает, что «в среднем» расход бензина у машин марки № 1

(6. 83 л/100 км) действительно меньше, чем у марки № 2 (7. 34 л/100 км).

Разница составляет 0. 51 л. Это разница незначительная, но «статистически значимая».

Если ориентироваться на исходные данные наблюдений, то этот факт не очевиден: хотя у второго ряда данных больше значений, превосходящих 7 л, чем у первого, но и в том, и в другом есть значения, превосходящие 8 л.

Расчет подтвердил «статистическое различие».

Но что отсюда следует?

Если говорить о двух покупателях, то еще неизвестно, чья машина окажется более экономной по расходу топлива (например, расход топлива у машины № 16 в первом ряду (7. 2 л) больше, чем у машины № 16 во втором ряду (6. 86 л), несмотря на обратное соотношение у средних). Хотя, конечно, шансов купить более экономную машину в первом случае – больше. Но что получится в каждом конкретном случае – неизвестно, кому как повезет.

Поэтому проводить сравнение средних для оценки шансов отдельного покупателя незачем, оно не дает ответа на вопрос, что лучше – модель № 1 или № 2. «Как повезет».

Результат сравнения средних может быть полезен там, где «среднее значение» соотносится не с одним экземпляром машины, а со многими. Например, при решении вопроса, какие модели лучше закупать для таксопарка, если стоит задача экономии топлива.

Тогда общий расход топлива может быть получен умножением исчисленного среднего значения на число машин данной марки.