2. Выпуклые конусы

Определение 1. Множество называется выпуклым конусом, если

1. для любых и выполняется включение ,

2. для любых выполняется включение .

Легко убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1. Выпуклый конус является выпуклым множеством.

Следующие 4 теоремы устанавливают некоторые операции допустимые в классе выпуклых конусов. (Рекомендуем доказать теоремы 2 – 4 самостоятельно. )

Теорема 2. Пусть имеется семейство выпуклых конусов . Тогда множество является выпуклым конусом.

Теорема 3. Пусть – выпуклые конусы. Тогда множество также выпуклый конус.

Теорема 4. Пусть – выпуклый конус. Тогда также выпуклый конус.

Теорема 5. Пусть – выпуклый конус. Тогда также выпуклый конус.

Легко увидеть, что нулевой вектор пространства является предельной точкой любого выпуклого конуса. Вектор 0 называется вершиной выпуклого конуса. Выпуклый конус может иметь не более одной крайней точки и этой крайней точкой может быть только вершина конуса.

Определение 2. Линейная комбинация векторов , называется конической комбинацией, если .

Определение 3. Множество всевозможных конических комбинаций любого конечного числа векторов из множества называется конической оболочкой множества и обозначается .

Очевидно, что для всякого множества множество является выпуклым конусом.

Определение 4. Пусть – ненулевой век-

тор. Множество называется лучом, а вектор называется направляющим вектором этого луча.

Очевидно, что луч – выпуклый замкнутый конус.

Определение 5. Пусть – выпуклый конус. Луч называется крайним лучом , если он

не принадлежит конической оболочке двух других лучей этого конуса.

Легко увидеть, что любой крайний луч выпуклого конуса принадлежит его границе, но не всякий луч, принадлежащий границе, является крайним лучом.