ЕГЭ на октябрьских каникулах – 1.

ЕГЭ на октябрьских каникулах – 1.

№14. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все ребра пирамиды равны. Точка М – середина ребра ВС.

а) Докажите, что ортогональная проекция середины ребра АВ на плоскость (CSD) делит медиану SN этой грани в отношении 1: 2, считая от вершины S.

б) Найдите угол между прямой SM и плоскостью (CSD).

№16. На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.

а) Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.

б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 600.

ДВИ МГУ 2020

№5. В равнобедренном треугольнике АВС с равными сторонами АВ и ВС проведены биссектрисы AD и СЕ. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ и ВС в точках К и L соответственно. Найдите DE, если АС=12 и КL=9.

№6. Дана треугольная призма АВСА1В1С1 с основанием АВС. На диагоналях АВ1, ВС1 и СА1 отмечены точки D, E, F соответственно. Найдите отношение, в котором плоскость DEF делит отрезок АА1, если AD: DB1 = 1: 1, BE: EC1=1: 2, CF: FA1=1: 3.