Теория игр и принятия решений. 9.1. Основные понятия

Теория игр и принятия решений

9. 1. Основные понятия

Рассмотренные задачи линейного программирования формулировались и решались в предположении наличия полной информации. Их можно отнести к совокупности задач принятия решений в условиях определенности. Например, в транспортной задаче издержки Су, связанные с доставкой груза от /-го поставщика к у'-му потребителю, считались фиксированной величиной. Если Ху — оптимальное значение переменной, определяющей объем перевозок груза от i-ro поставщика ку'-му потребителю, то общий вклад в издержки от транспортировки грузов равен произведению с, у, которое также является фиксированной величиной при заданном значении Хд. В реальных экономических условиях приходится решать отдельные задачи при ограниченности, неточности исходной информации о самом объекте и внешней среде, в которой он функционирует и развивается.

При принятии управленческих решений о функционировании и развитии экономического объекта необходимо учитывать важную характеристику внешней среды — неопределенность.

Под неопределенностью следует понимать отсутствие, неполноту, недостаточность информации об объекте, процессе, явлении или неуверенность в достоверности информации. В условиях рыночной экономики существует множество источников возникновения неопределенности для различных экономических объектов. Например, к основным источникам возникновения неопределенности на транспорте можно отнести следующие.

1. Существенная зависимость транспортного процесса от погодных условий. Например, погодные условия могут вызвать непредвиденные последствия в перевозках сельскохозяйственной продукции.

2. Наличие, кроме транспортного предприятия, других участников транспортного процесса — поставщиков грузов, потребителей грузов, ГАИ и др. Результат их влияния на транспортный процесс носит неопределенный и неоднозначный характер.

3. Наличие в работе автотранспорта элементов вероятности и случайности (надежность подвижного состава, неравномерность спроса на транспортные услуги во времени и др. ).

4. Недостаточность, неполнота информации об объекте, процессе, явлении, по отношению к которому принимается решение: ограниченность в сборе и обработке информации, постоянная ее изменчивость.

5. Наличие в общественной жизни страны противоборствующих тенденций, столкновение противоречивых интересов.

6. Невозможность однозначной оценки объекта при сложившихся в данных условиях уровне и методах научного познания.

7. Относительная ограниченность сознательной деятельности лица, принимающего решение, существующие различия в социально-психологических установках, идеалах, намерениях, оценках, стереотипах поведения.

Неопределенность обусловливает появление ситуаций, не имеющих однозначного исхода (решения). Среди различных видов ситуаций, с которыми в процессе производства сталкиваются предприятия, особое место занимают ситуации риска.

Под ситуацией риска следует понимать сочетание, совокупность различных обстоятельств и условий, создающих обстановку того или иного вида деятельности. Ей сопутствуют три условия. Это

• наличие неопределенности;

• необходимость выбора альтернативы (отказ от выбора таковых является разновидностью альтернативы);

• возможность оценить вероятность осуществления выбираемых альтернатив.

Таким образом, если существует возможность количественно и качественно определить степень вероятности того или иного варианта, то это и будет ситуация риска.

Для того чтобы снять ситуацию риска, руководители предприятий вынуждены принимать решения и стремиться реализовать их. Этот процесс находит свое выражение в понятии «риск». Несмотря на то что риск объективно присутствует во всех сферах общественной жизни и в большинстве видов управленческой деятельности, обнаруживается, что понятие «риск» досих пор не получило универсальной трактовки.

Следует упомянуть об экономическом риске применительно к процессам принятия решений в условиях неопределенности и риска, иными словами, в условиях дефицита информации или неуверенности в достоверности информации. В этом случае риск предстает в виде совокупности вероятных экономических, политических, нравственных и других положительных и неблагоприятных последствий, которые могут наступить при реализации выбранных решений. Определим риск как целенаправленные действия, в ходе которых имеется возможность количественно и качественно оценить вероятность достижения желаемого результата, неудачи и отклонения от цели (положительного или отрицательного свойства).

Процесс установления рыночных отношений в нашей стране порождает различные виды рисковых ситуаций, более того, в работе предприятий риск становится необходимым и обязательным его компонентом.

Чтобы проиллюстрировать различие между ситуациями, когда приходится принимать решения в условиях риска или в условиях неопределенности, рассмотрим задачу оптимального выбора ассортимента выпускаемой продукции.

В условиях риска доход с, от реализации единицы продукции/ не является фиксированной величиной. Напротив, это случайная величина, точное числовое значение которой не известно, но описывается с помощью функции распределения f(cj). Часть дохода CjXj, определяемая продукцией у, также случайная величина, если даже значение переменной Хр определяющей уровень выпуска продукции у, задано.

В условиях неопределенности функция распределения у}(с) неизвестна. В действительности неопределенность не означает полного отсутствия информации о задаче. Например, известно, что су может принимать пять значений, но неизвестны вероятности этих значений. Эта ситуация рассматривается как принятие решений в условиях неопределенности.

Таким образом, с точки зрения полноты исходных данных определенность и неопределенность представляют два крайних случая, а риск определяет промежуточную ситуацию, в которой приходится принимать решение.

Степень неинформированности данных определяет, каким образом задача формализуется и решается.

При решении задач в условиях неопределенности внешней среды наиболее часто возникают две ситуации. При первой ситуации сама система препятствует принятию решений, например задача составления графика выпуска на работу подвижного состава, занимающегося перевозкой сельхозпродукции, в зависимости от того, будет дождь или нет. В этой задаче природа будет восприниматься как «доброжелательный» противник.

Во второй ситуации возможно наличие конкуренции, когда два (или более) участника находятся в конфликте и каждый стремится как можно больше выиграть у другого (других). Эта ситуация отличается от обычных процессов принятия решений в условиях неопределенности тем, что лицу, принимающему решение, противостоит мыслящий противник. Теория, в которой рассматриваются задачи принятия решений в условиях неопределенности при наличии противника («доброжелательного» или мыслящего), известна как теория игр.

9. 2. Принятие решений в условиях полной определенности

Математические модели исследуемых явлений или процессов могут быть заданы в виде таблиц, элементами которых являются значения частных критериев эффективности функционирования системы, вычисленные для каждой из сравниваемых стратегий при строго заданных внешних условиях. Для рассматриваемых условий принятие решений может производиться:

• по одному критерию;

• по нескольким критериям.

Пример 9. 1. Одной из фирм требуется выбрать оптимальную стратегию по обеспечению нового производства оборудованием. С помощью экспериментальных наблюдений были определены значения частных критериев функционирования соответствующего оборудования (ад), выпускаемого тремя заводами-изготовителями. Рассмотрим данные для выбора оптимальной стратегии в условиях полной определенности:

Варианты оборудования (стратегии, решения)	Частные критерии эффективности оборудования*
Варианты оборудования (стратегии, решения)	производительность, д. е.	стоимость оборудования, д. е.	энергоемкость, у. е.	надежность, у. е.
Оборудование завода 1, x₁ Оборудование завода 2, x₂ Оборудование завода 3, x₃	a₁₁=5 a₂₁=3 a₃₁=4	a₁₂=7 a₂₂=4 a₃₂=6	a₁₃=5 a₂₃=7 a₃₃=2	a₁₄=6 a₂₄=3 a₃₄=4
* Значения частных критериев даны в условных единицах.

На основе экспертных оценок были также определены веса частных критериев :

Очевидно, выбор оптимальной стратегии (варианта оборудования) по одному критерию в данной задаче не вызывает затруднений. Например, если оценивать оборудование по надежности, то лучшим является оборудование завода 1 (стратегия х₁).

Выбор оптимального решения по комплексу нескольких критериев (в нашем примере - по четырем критериям) является задачей многокритериальной.

Один из подходов к решению многокритериальных задач управления связан с процедурой образования обобщенной функции F_i (а_i₁; а_i₂; a_i₃; ... a_in), монотонно зависящей от критериев а_i₁; а_i₂; a_i₃; ... a_i. Данная процедура называется процедурой (методом) свертывания критериев. Существует несколько методов свертывания, например:

метод аддитивной оптимизации;

метод многоцелевой оптимизации и др.

Рассмотрим подробнее метод аддитивной оптимизации. Пусть

Здесь выражение (9. 1) определяет аддитивный критерий оптимальности. Величины λ _i являются весовыми коэффициентами, которые определяют в количественной форме степень предпочтения j-го критерия по сравнению с другими критериями. Другими словами, коэффициенты λ _j определяют важность j-го критерия оптимальности. При этом более важному критерию приписывается больший вес, а общая важность всех критериев равна единице, т. е.

Обобщенная функция цели (9. 1) может быть использована для свертывания частных критериев оптимальности, если:

• частные (локальные) критерии количественно соизмеримы по важности, т. е. каждому из них можно поставить в соответствие некоторое число λ _j, которое численно характеризует его важность по отношению к другим критериям;

• частные критерии являются однородными (имеют одинаковую размерность; в нашем примере критерии «стоимость оборудования» и «производительность оборудования» в условных денежных единицах будут однородными).

В этом случае для решения задачи многокритериальной оптимизации оказывается справедливым применение аддитивного критерия оптимальности.

Допустим, в примере 9. 1 необходимо выбрать оптимальный вариант оборудования по двум однородным локальным критериям:

производительность (д. е. );

стоимость оборудования (д. е. ).

На основе экспертных оценок были определены весовые коэффициенты этих двух частных критериев: ki = 0, 667, k2 = 0, 333. Вычислим аддитивный критерий оптимальности для трех вариантов:

Очевидно, первый вариант оборудования по двум частным стоимостным критериям будет оптимальным, так как Fmax = F\(a^) = = 5, 666. В примере 9. 1 четыре локальных критерия не однородны, т. е. имеют различные единицы измерения. В этом случае требуется нормализация критериев. Под нормализацией критериев понимается такая последовательность процедур, с помощью которой все критерии приводятся к единому, безразмерному масштабу измерения. К настоящему времени разработано большое количество схем нормализации. Рассмотрим некоторые из них.

Определим максимум и минимум каждого локального критерия, т. е.

Выделим группу критериев apj = IJ, которые максимизируются при решении задачи, и группу критериев а, -, у = С + \, п, которые минимизируются при решении задачи.

Тогда в соответствии с принципом максимальной эффективности нормализованные критерии определяются из следующих соотношений:

Оптимальным будет тот вариант (стратегия), который обеспечивает максимальное значение функции цели:

В соответствии с принципом минимальной потери нормализованные критерии определяются из соотношений

При этом оптимальным будет тот вариант (стратегия), который обеспечивает минимальное значение функции цели (9. 9).

Пример 9. 2. Используя данные примера 9. 1, определите оптимальную стратегию выбора оборудования из трех возможных (т = 3) с учетом четырех локальных критериев (л = 4).

Решение

1. Определим max и min каждого локального критерия:

2. При решении задачи максимизируются первый (производительность) и четвертый (надежность) критерии, а минимизируются второй (стоимость оборудования) и третий (энергоемкость) критерии.

3. Исходя из принципа максимизации эффективности, нормализуем коитеоии:

4. Определим обобщенную функцию цели по каждому варианту:

Оптимальным является первый вариант оборудования, так как Fmax = F₁=0, 729.

Рассмотренный подход к решению многокритериальных задач

зачастую применяется при решении экономических задач, связанных с оценкой качества промышленной продукции и оценкой уровня технического совершенства технических устройств и систем по нескольким показателям.

Другим возможным методом решения многокритериальных задач является метод последовательных уступок. В начале критерии ранжируются и нумеруются в порядке убывания важности. Абсолютное значение коэффициентов важности X, - на этом этапе не играет никакой роли. Оптимизируется первый по важности критерий а, и определяется его экстремальное значение а{. Затем назначается величина допустимого отклонения критерия от оптимального значения (уступка) Да, и ишется экстремальное значение второго по важности критерия а2, при условии, что отклонение первого от оптимального значения не превзойдет величины уступки. Затем назначается уступка для второго критерия, и задача оптимизируется по третьему критерию и т. д. Таким образом, многокритериальная задача оптимизации заменяется последовательностью однокри-териальных задач. Решение каждой предыдущей задачи используется при решении последующих для формирования дополнительных условий, состоящих в ограничении на величину уступки.

9. 3. Принятие решений в условиях риска

Основными критериями оценки принимаемых решений в условиях риска являются:

• ожидаемое значение результата;

• ожидаемое значение результата в сочетании с минимизацией его дисперсии;

• известный предельный уровень результата;

• наиболее вероятное событие (исход) в будущем.

Критерий ожидаемого значения используется в случаях, когда требуется определить экстремальное значение (max или min) результативного показателя (прибыль, расходы, экономические потери и т. д. ). Применение этого критерия рассмотрим на конкретном примере, связанном с постановкой задачи проведения ремонтно-профилактических воздействий автомобилей. Оптимальное количество ремонтных воздействий, определенное минимизацией суммарных затрат на заданной наработке LK с учетом рисков пропуска отказов и выполнения лишних ТО, приравнивается к количеству ТО на указанном пробеге. Модель данной задачи является моделью вероятностного спроса на ремонты с мгновенным восстановлением. Здесь минимизируются суммарные издержки за пробег Z. K, которые определяются затратами на плановый ремонт Sp, профилактику Sm и незапланированный аварийный ремонт Sm, рассматриваемый как штраф за пропуск отказа

Составляющие суммарных затрат формулы (9. 14) зависят от количества ремонтно-профилактических операций за наработку LK, определяемых по формуле

Наработка до отказа - величина случайная, определяемая плотностью распределения /(LOT), Lm < LK. В силу случайности L0T величина я также будет случайной с плотностью распределения

Используя fin) как весовую функцию и выражая составляющие суммарных затрат через соответствующие стоимости из (9. 14), получим

где Ср - средняя стоимость предупредительного (планового; ремонта, Ст0— средняя стоимость профилактики (или убыток от недоиспользования ресуНаработка до отказа - величина случайная, определяемая плотностью распределрса замененных при ТО деталей); Сш — ущерб (штраф) от пропуска отказа (или стоимость устранения аварийного отказа). Очевидно, Сш > Сто.

Интеграл (9. 16) в пределах [0, пр\ соответствует риску выполнения лишних ТО (избыточность затрат на ТО), а интеграл в пределах |яр, оо| — риску пропуска аварийных отказов (избыточность затрат на TP по потребности). Из уравнения (9. 17) находим оптимальное количество ремонтов пр на пробеге LK (обычно LK — пробег до КР). Далее, заменяя необходимые ремонты обслуживаниями, при которых выполняется комплекс операций по предупреждению отказов, включая предупредительные замены деталей, получим

Пример 9. 3. Определить оптимальную периодичность ТО (у. е. ) при LK = 200 тыс. км, Сш = 69, Ср = 24, Сто = 15, если наработки до отказа имеют нормальное распределение с параметрами Lm — = 20 тыс. км и oL = 5 тыс. км

Решение

Выполнив преобразование распределения (9. 19) по формуле (9. 15), получим (яг 1):

После подстановки выражения (9. 20) в (9. 17) получим задачу оптимизации, для решения которой воспользуемся математическим пакетом EUREKA

Решая задачу, получим оптимальную периодичность Ljo~ '5, 3 тыс. км при пр = 13, 08, которая обеспечивает минимальные суммарные издержки S.

Критерий ожидаемого значения позволяет получить достоверные оценки в случае, когда одно и то же решение приходится принимать достаточно большое число раз, так как замена математического ожидания выборочными данными правомерна лишь при большом объеме выборки.

Если необходимость в принятии решения встречается редко, то выборочное значение может значительно отличаться от математического ожидания, а применение критерия ожидаемых значений может приводить к ошибочным результатам. В таких случаях рекомендуется применять критерий ожидаемого значения в сочетании с минимизацией его дисперсии, что приближает выборочное значение к математическому ожиданию. Критерий принимает следующий вид:

где X — случайная величина (например, суммарные издержки); D(X) — дисперсия этой величины; К — заданная постоянная.

Постоянную К иногда интерпретируют как уровень несклонности к риску. Считается, что К определяет «степень важности» дисперсии D(X) по отношению к М(Х). Например, предприниматель, особенно остро реагирующий на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от М(Х), может выбрать К много больше единицы. Это придает больший вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему большие потери прибыли.

Критерий предельного уровня не позволяет получить оптимальное решение, найти максимум прибыли и минимум расходов. Этот критерий дает возможность определить приемлемый (допустимый) способ действий. Например, транспортная фирма распродает автомобили, бывшие в эксплуатации. По каждой модели автомобиля

определенного возраста определяется лимитная цена, т. е. минимально допустимая цена продажи автомобиля. Продажа автомобилей по иене ниже лимитной приведет к убыточной работе транспортной фирмы. Это и есть предельный уровень, позволяющий транспортной фирме согласиться на первое же превышающее этот уровень предложение цены. Такой критерий не определяет оптимальное решение, поскольку одно из последующих предложений может оказаться более выгодным, чем принятое.

Одно из преимуществ критерия предельного уровня заключается в том, что для него нет необходимости задавать в явном виде плотность распределения случайных величин. В нашем примере случайная величина — рыночная цена автомобиля. Транспортная фирма располагает информацией о распределении рыночных цен на подобные автомобили в неявном виде. Иначе при полном отсутствии информации о распределении рыночных цен фирма установила бы предельные цены на автомобили очень высокими или, наоборот, очень низкими.

Критерий наиболее вероятного события (исхода) основан на преобразовании случайной ситуации в детерминированную путем замены случайной величины единственным значением, имеющим наибольшую вероятность реализации.