ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКая СТАТИСТИКА и ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКая СТАТИСТИКА и ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

АУ, 5-й семестр (физики)

1. ** Предмет ТВ. Случайный эксперимент. События и операции над ними. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Свойства вероятности в этих случаях.

2. Аксиоматическое определение вероятностного пространства. Простейшие свойства вероятности.

3. Непрерывность вероятности.

4. Условные вероятности. Формулы полной вероятности и Байеса. Независимость событий. Лемма Бореля-Кантелли.

5. Вероятностное пространство для последовательности независимых испытаний.

6. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Формулировки теорем Муавра-Лапласа.

7. Теорема Пуассона, оценка точности пуассоновского приближения.

8. Случайные величины (с. в). Распределения с. в., s-алгебра событий, порожденная с. в.

9. Функция распределения с. в. Необходимые и достаточные условия того, что функция является функцией распределения.

10. Классификация распределений. Примеры распределений.

11. Многомерные с. в. и распределения.

12. Независимость с. в. Переформулировки определения независимости.

13. ** Интеграл Стилтьеса: определение, свойства, примеры.

14. Непрерывный вариант формулы полной вероятности. Условные распределения. Закон композиции распределений.

15. * Основное свойство показательного распределения. Распределения Эрланга и Лапласа.

16. Математическое ожидание: определение, примеры, свойства.

17. Дисперсия: определение, свойства, примеры.

18. Моменты. Неравенства Иенсена, Ляпунова, Гельдера. Проблема моментов. Квантили распределения.

19. Ковариация. Матрица ковариаций случайного вектора. Коэффициент корреляции. Задачи линейного и общефункционального прогноза.

20. Характеристические функции: определение, примеры, свойства.

21. Формула обращения. Теоремы Бохнера-Хинчина и Пойа (только формулировки). {Производящие функции. Характеристическая функция суммы случайного числа независимых одинаково распределенных с. в. }*

22. Виды сходимостей последовательностей случайных величин. Формулировка теоремы о связи сходимости по распределению и сходимости характеристических функций.

23. Неравенства Чебышева.

24. Закон больших чисел (ЗБЧ). Теорема Маркова, ее следствия.

25. ЗБЧ для независимых одинаково распределенных с. в. {Вариант ЗБЧ для последовательности слабозависимых величин}. * Усиленный ЗБЧ.

26. Центральная предельная теорема в форматах Хинчина (с доказательством), Линдеберга, Ляпунова, схемы серий. Оценка скорости сходимости.

27. Законы арксинуса, повторного логарифма, «0 или 1»(формулировки).

28. * Моделирование с. в. Метод обратной функции. Моделирование смесей. Выбор с отклонением.

29. ** Задачи МС. Понятие выборки.

30. Оценивание параметра. Свойства оценок. Выборочные характеристики и их свойства.

31. Порядковые статистики. Вариационный ряд.

32. Эффективность. Информация Фишера, неравенство Рао-Крамера. Робастность.

33. Метод моментов.

34. Метод максимального правдоподобия.

35. Регрессия. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов.

36. Задача проверки гипотезы. Критерий проверки. Ошибки первого и второго рода.

37. Распределения Стьюдента и c². Лемма Фишера.

38. Построение доверительных интервалов. Проверка простых гипотез для параметров нормального распределения. Гипотеза равенства средних двух нормальных выборок.

39. Критерий c².

40. Статистические критерии для проверки гипотез согласия, симметрии, однородности, независимости.

41. Определение случайного процесса. Типы случайных процессов. Примеры.

42. Пуассоновский поток и пуассоновское поле.

43. Винеровский процесс (броуновское движение), свойства его траекторий

44. Однородные марковские цепи, способы их задания, примеры.

45. Классификация состояний. Критерий возвратности.

46. Предельное поведение вероятностей перехода и распределений марковской цепи. Стационарное распределение.

47. Однородные марковские процессы с непрерывным временем. Дифференциальные уравнения Колмогорова. Инфинитезимальная матрица (матрица-генератор).

* - этот вопрос или выделенная {скобками} часть вопроса разбиралась на практических занятиях.

** - вопрос не включается в билет, но как дополнительный он может быть задан.