Таблица № 6

N	f(x, y, z)	x₁, y₁, z₁	N	f(x, y, z)	x₁, y₁, z₁
	xy² + 2z³	0, 1, 2		xy² + z³	1, 1, 3
	y²x + zx²	0, 1, 1		zy² + 3x³	2, 3, 1
	2xy² + xz²	1, 0, 1		y²x + zx²	2, 0, 1
	x²y + y³	2, 0, 2		xyz + zx²	0, 1, 2
	x²y + 2zx²	2, 2, 1		x³ + 4xy²	1, 1, 1
	x²y +3 z²y	3, 1, 1		3x³ + 2z³	1, 0, 1
	x²z + 3x³	2, 1, 0		x³ + zy²	1, 2, 1
	x²z +3 z²y	1, 0, 1		xyz + 2y³	1, 1, 2
	4x²z + zy²	1, 0, 2		2y³ + x²y	2, 3, 1
	2z²x + yzx	1, 2, 3		2x³ + zx²	1, 2, 3
	y²x + zy²	2, 3, 1		3xy² + 2z³	2, 3, 2
	x²z +2 zy²	1, 1, 1		2y²x + zx²	1, 3, 1
	3x²y + x³	1, 1, 2		z²x + zy²	1, 1, 3
	3x²y + xy²	2, 2, 2		y²x + 2xyz	2, 1, 5
	y²x + xyz	2, 1, 1		y³ + zx²	1, 1, 3

3. 3. 5. В условиях задания 1. 3. 5. мина разрывается на 2 осколка с соотношением масс 1/(N+2) в момент времени t₁ (таблица 2) Меньший осколок возвращается в точку выстрела. Найдите расстояние от точки выстрела до места падения второго осколка.

3. 3. 6. Определите модуль изменения импульса мины в условиях задания 1. 3. 5. через t₂ секунд полета.

3. 3. 7. В условиях задания 1. 3. 5. определите условное место падения центра масс системы осколков, если мина разрывается на N+3 осколка в момент времени t₂.

3. 4. Контрольное задание.

3. 4. 1. Диск и тонкий обруч скатываются без проскальзывания с наклонной плоскости a = 30⁰, высота ее h = 0, 5 м, начальные скорости тел v₀ = 0. Найдите: линейные скорости v диска и обруча у основания плоскости; ускорения а центров масс диска и обруча; времена скатывания t_ск. Сравните полученные значения для тела соскальзывающего с этой наклонной плоскости без трения.

Ответ: 2, 56 м/с, 2, 21 м/с; 3, 27 м/с², 2, 45 м/с²; 078 с, 0, 9 с; 3, 13 м/с, 4, 9 м/с², 0, 64 с.

3. 4. 2. Решите задания 2. 4. 1. – 2. 4. 4., используя закон сохранения энергии.

3. 4. 3. Ангармоничная пружина, упругая сила которой изменяется в зависимости , где - константа, Н/м³. Чему равна потенциальная энергия этой пружины при растяжении ее на величину x, если при х = 0 ее потенциальная энергия равна 0?

Ответ:

3. 4. 4. Вычислите кинетическую, потенциальную и полную энергию спутника массой 500 кг, движущегося по круговой орбите радиусом 6750 км, если момент импульса спутника L = 2, 7 10¹³ кг м²/c.

Ответ: 1, 6 10¹⁰Дж, -3, 2 10¹⁰ Дж, 1, 6 10¹⁰Дж.

3. 4. 5. Карандаш длиной 15 см, поставленный вертикально падает на стол без проскальзывания. Какую линейную скорость будет иметь верхний конец карандаша в конце падения?

Ответ: 2, 1 м/c.

Занятие 4. КОЛЕБАНИЯ.

4. 1. Подготовительное задание

4. 1. 1. Объясните понятия и термина: гармонические колебания, амплитуда Х₀, фаза a, циклическая частота w, частота n, начальная фаза a₀, период Т гармонических колебаний; осциллятор, фазовое пространство, фазовая траектория; пружинный и математический маятники, физический маятник; добротность Q, коэффициент затухания d, логарифмический декремент затухания Q; резонанс. Укажите размерности и единицы измерения физических величин.

4. 1. 2. Дайте пояснения к следующим формулам

(4. 1)

(4. 2)

(4. 3)

(4. 4)

(4. 5)

(4. 6)

(4. 7)

(4. 8)

(4. 9)

(4. 10)

(4. 11)

; (4. 12)

(4. 13)

(4. 14)

(4. 15)

(4. 16)

(4. 17)

(4. 18)

(4. 19)

(4. 20)

(4. 21)

4. 2. Теоретическое занятие.

4. 2. 1. Докажите, что если колебание тела происходит без трения, сумма его потенциальной и кинетической энергии есть величина постоянная (см. 4. 11).

4. 2. 2. Докажите, что полная энергия осциллятора равна произведению частоты n на площадь S, ограниченную его фазовой траекторией.

4. 2. 3. Выведите формулы для расчета циклической частоты колебаний пружинного (4. 5), математического (4. 7), физического (4. 9) на основании уравнений их движений (4. 4) (4. 6) (4. 8).

4. 2. 4. докажите, что если точка одновременно участвует в двух параллельных колебательных движениях с одной и той же частотой, то результирующее движение также является гармоническим колебанием, причем начальная фаза a₀_S и амплитуда Х₀_S определяются формулами (4. 12) (4. 13), где a₀₁ и a₀₂, Х₀₁ и Х₀₂ – соответственно начальные фазы и амплитуды составляющих колебаний.

4. 2. 5. Подстановкой докажите, что уравнения колебаний осциллятора с затуханием (4. 14) имеет решение (4. 15), причем время релаксации и частота определяются уравнениями (4. 16) и (4. 17) соответственно.

4. 3. Индивидуальное задание.

4. 3. 1. Пусть ось z , вокруг которой может вращаться изображенное на рис 2. 3 тело, расположена горизонтально. Тело отклонили на угол и отпустили, в результате чего оно стало совершать колебательное движение. Трение отсутствует. Определите частоту колебаний.

4. 3. 2. Напишите уравнения j(t), L(t), W_П(t), W_К(t) и уравнение фазовой траектории в координатах j, L. для колебаний тела в условиях предыдущей задачи.

4. 3. 3. Используя полученные в задании 4. 3. 2. аналитические зависимости, постройте графики j(t), L(t), W_П(t), W_К(t) и фазовую траекторию в координатах j, L. Как изменятся эти графики при наличии трения?

4. 3. 4. Покажите, что в условиях задачи 4. 3. 1. полная энергия колеблющегося тела остается величиной постоянной и вычислите ее. Постройте потенциальную кривую W_П(j).

4. 3. 5. В условиях задания 4. 3. 1. определите период колебаний и время релаксации физического маятника при наличии трения, если коэффициент трения r определяется выражением: .

4. 4. Контрольное задание

4. 4. 1. Определите период собственных колебаний:

- цилиндра высотой 10 см, плавающего в вертикальном положении в жидкости, если плотность материала цилиндра составляет 90 % плотности жидкости;

- однородного стержня длиной 0, 3 м, подвешенного за один из его концов;

- столба ртути в сообщающихся трубках манометра, если его высота равна 0, 5 м;

4. 4. 2. Разложите гармоническое колебание, совершающееся по закону

, на два гармонических колебания той же частоты и того же направления так, чтобы начальные фазы колебаний были равны и соответственно.

Ответ: ; .

4. 4. 3. Математический маятник длиной , выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на , а при втором (в ту же сторону) – на . Найдите логарифмический декремент затухания и время релаксации для этих двух колебаний.

Ответ: 0. 223 с; 6. 3 c.