Пример 1.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Площадь криволинейной трапеции

Определение: фигура, ограниченная графиком функции , прямыми и и осью абсцисс – называется криволинейной трапецией.

Пример 1.

Вычислим площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)=x², прямыми у=0, х=1 и х=2.

Для функции f(x)=x² одной из первообразных является функция F(x)= Следовательно,

Пример 2.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми х=-1, х=2 и параболой у=9-х².

Построим график функции у=9-х² и изобразим данную трапецию

Искомая площадь S равна интегралу .

По формуле Ньютона - Лейбница находим

Пример 3.

Найдите площадь фигуры, ограниченной осью Ох, и параболами у=х², у=2х-х². Построим графики функций у=х², у=2х-х²и найдём абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения

Корни этого уравнения

Из рисунка видно, что эта фигура состоит из двух криволинейных трапеций. Следовательно, искомая площадь равна сумме площадей этих трапеций.

Пример 4.

Найдите площадь S фигуры, ограниченной отрезком оси Ох и графиком функции на этом отрезке.

Заметим, что площадь данной фигуры равна площади фигуры, симметричной данной относительно оси Ох, т. е. площади фигуры, ограниченной отрезком оси Ох и графиком функции

на отрезке .

На этом отрезке и поэтому

Пример 5.

Найдите площадь S фигуры, ограниченной параболой у=х²+1 и прямой у=х+3. Построим графики функций у=х²+1 и у=х+3.

Найдём абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения

Это уравнение имеет корни

Из рисунка видно, что искомую площадь можно найти как разность площадей S₁и S₂ двух трапеций, опирающихся на отрезок , первая из которых ограничена сверху отрезком прямой у=х+3, а вторая – дугой параболы у=х²+1. Так как

то

Используя свойство первообразных, можно записать S в виде одного интеграла:

12 Следующая ⇒