Самодельный ареометр

Ареометр – прибор для измерения плотности жидкостей, принцип работы которого основан на законе Архимеда. Обычно он представляет собой трубку, в нижней части которой помещён груз (см. рис). Верхняя часть ареометра – цилиндр, на котором нанесена шкала, проградуированная в значениях плотности. Считается, что ареометр изобрела Гипатия Александрийская – знаменитая женщина-учёный древности. Рассмотрим конструкцию самодельного ареометра для измерения плотности молока (лактометра). Плотность молока варьируется в пределах от минимального значения ρ ₁ = 1015 кг/м³ до максимального ρ ₂ = 1040 кг/м³. Разность максимального и минимального значения много меньше среднего значения, благодаря чему шкала такого лактометра линейна. Для изготовления лактометра взяли твёрдую цилиндрическую пластиковую трубку с внешним диаметром d = 14 мм, внутрь которой снизу поместили груз и закрыли нижний конец заглушкой. Снаружи вся конструкция выглядит как цилиндр, а её общая масса равна m = 40 г. На расстоянии h₀ = 20 см от нижнего конца трубки нанесли первое деление, которое соответствовало некоторой плотности ρ ₀, немного меньшей ρ ₁. Вниз от первого деления стали наносить другие деления, расстояние между которыми было равно Δ h = 1 мм. Чему равна цена деления Δ ρ такого прибора? Чему равна плотность ρ ₀, соответствующая первому делению? Какое минимальное число N делений нужно нанести, чтобы измерять плотность во всём диапазоне от ρ ₀ до ρ ₂?

Решение. Рассмотрим положение равновесия ареометра, когда он частично погружен в жидкость с некоторой плотностью ρ, и при этом глубина погружения равна h. Объём погружённой части цилиндра равен

(1)

Сила тяжести, действующая на весь прибор, уравновешивается силой Архимеда:

(2)

или

(3)

Выразим из этой формулы плотность ρ:

(4)

Покажем, что при малых изменениях плотности жидкости шкала этого прибора линейна. Пусть

(5)

где d – отсчитанное вниз от первого деления расстояние, которое соответствует отметке на шкале при погружении в жидкость с плотностью . Подставим (5) в (4) и преобразуем выражение:

(6)

В приближённом равенстве мы учли, что . (если разность между максимальной и минимальной плотностями много меньше среднего значения, то справедливо неравенство , а для квадратов этих величин неравенство «ещё более сильное»). Применяя формулу (6) для двух соседних делений шкалы и вычитая одно равенство из другого, получим:

= 5 кг/м³ (7)

С другой стороны, масса всего прибора равна массе вытесненной им жидкости. Поэтому для плотности и глубины погружения имеем соотношение

(8)

откуда

= 1000 кг/м³ (9)

Тогда минимальное число делений, которое необходимо, чтобы измерять плотности от ρ ₀ до ρ ₂ включительно, равно

= 9 (10)

Ответ: = 5 кг/м³; = 1000 кг/м³; = 9.

Разбалловка.

Получено любым способом уравнение (4) или любое равносильное ему уравнение (например, (3)), связывающее плотность жидкости и глубину погружения цилиндра, либо плотность жидкости и величины h₀ и d (как в первом равенстве (6)): 3 балла.

Показано любым способом, что при узком диапазоне измеряемых плотностей шкала прибора линейна, т. е. , и найдено правильное выражение или числовое значение для коэффициента B: 1 балл. Заметим, что коэффициент A не важен для данного вопроса, поэтому за неверное выражение или отсутствие выражения для него балл не снижается.

Получено правильное численное значение цены деления Δ ρ: 2 балла. Если получена формула, но численное значение неверно, то за этот пункт ставится 1 балл.

Получено правильное численное значение плотности ρ ₀: 2 балла. Если получена формула, но численное значение неверно, то за этот пункт ставится 1 балл.

Получено правильное число делений N: 2 балла. Если получена формула, но численное значение неверно, то за этот пункт ставится 1 балл. Если в формуле отсутствует единица (т. е. формула даёт ответ 8, а не 9), то также ставится 1 балл за этот пункт.

Примечание: если получены ответы на вопросы задачи без обоснования линейности зависимости , т. е. не записано в явном виде приближение, как в правой части (6), а линейность шкалы используется как данность, то оценка снижается на 1 балл (т. е. все остальные пункты оцениваются независимо).