ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 51. Краткие теоретические сведения

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 51

Тема: Решение задач на прямоугольный параллелепипед

Краткие теоретические сведения

Параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁ – это поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A₁B₁C₁D₁, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники.

Свойства параллелепипеда:

· Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.

· Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

· Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.

· Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед

AB = 12 см

AD = 5 см

C₁AC = 45°

Найти: C₁C

Решение:

1) Рассмотрим ∆ ABC – прямоугольный ( = 90°) и найдем в нём сторону AC по теореме Пифагора:

AC² = AB²+BC²= 12²+5²= 144+25 = 169

AC = = 13 (cм)

2) По свойству прямоугольного треугольника (сумма острых углов равна 90°) получаем, что в

∆ ACС₁: C₁AC = AC₁C = 45°, а значит AC = CC₁ = 13 (cм).

Ответ: 13 см

Задача 2. В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани AA₁D₁D равна 5 см, а AB=2 см. Найдите диагональ параллелепипеда.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед
A₁D = 5 см

AB=2 см

Найти: B₁D

Решение:

1) Так как в прямоугольном параллелепипеде, все грани прямоугольники, то AB = A₁B₁=2

2) Рассмотрим ∆ A₁B₁D – прямоугольный ( DA₁B₁= 90°) и найдем в нём искомую диагональ B₁D по теореме Пифагора:

B₁D²= A₁B₁²+ D A₁² = (2 )²+ 5² = 4× 6 + 25 = 49

B₁D = 7 (см)

Ответ: 7 см

Задача 3. Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами 2, 3 и 6 см. Найдите его диагональ.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед

AB = 2 cм

AD = 3 cм

AA₁= 6 cм

Найти: B₁D

Решение:

1) По свойству (квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений) получим:

B₁D² = 2² + 3² + 6² = 4 + 9 + 36 = 49

B₁D = 7 (см)

Ответ: 7 см

Содержание работы

Вариант 1.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 3 и 4 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Задача 2. В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани AA₁D₁D равна 12 см, а AB=35 см. Найдите диагональ параллелепипеда.
Задача 3. Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами 4, 3 и 12 см. Найдите его диагональ.

Вариант 2.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 8 и 15 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Задача 2. В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани AA₁D₁D равна 28 см, а AB=45 см. Найдите диагональ параллелепипеда.
Задача 3. Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами 5, 7 и 10 см. Найдите его диагональ.