ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 50. Краткие теоретические сведения

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 50

Тема: Решение задач на параллелепипед

Краткие теоретические сведения

Параллелепипед– частный случай призмы. Поэтому справедливы следующие теоремы.

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Площадь полной поверхности параллелепипеда называется сумма площадей всех его граней.

Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Рис. 1

Задача 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины (рис. 1).

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед

BА = a₁= 3; BC = a₂ = 4; BB₁ = a₃

S_пов.=94

Найти: BB₁ = a₃

Решение. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда определяется выражением

,

где - длины ребер параллелепипеда. В задаче даны значения двух ребер.

То есть третье ребро равно 5.

Задача 2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ (рис. 1).

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед

BА = a₁= 1; BC = a₂ = 2; BB₁ = a₃

S_пов_.=16

Найти: AC₁=d

Решение.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда вычисляется через стороны параллелепипеда как

.

В задаче даны две стороны . Найдем третью сторону из формулы площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

,

получим:

Следовательно, диагональ равна

.

Ответ: 3.

Задача 3. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру (рис. 1).

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед

V = 24

BB₁ = h = 3

Найти: S_ABCD

Решение.

Так как объем V прямоугольного параллелепипеда можно найти как произведение площади S его грани на ребро h, перпендикулярное этой грани, то есть , то площадь грани равна

.

Ответ: 8.

Содержание работы

Вариант 1.

Задание 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 5 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 112. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Задание 2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 62. Найдите его диагональ.

Задание 3. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 48. Одно из его ребер равно 8. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Вариант 2.

Задание 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 5 и 6. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 126. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Задание 2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 1. Площадь поверхности параллелепипеда равна 30. Найдите его диагональ.

Задание 3.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 30. Одно из его ребер равно 6. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.