ВСТУП. ЗАДАЧА 1. ЗАДАЧА 2. ЗАДАЧА 3. ЗАДАЧА 4. ЗАДАЧА 5. ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Вінницький національний технічний університет

Кафедра теплогазопостачання

РОЗРАХУНКОВА РОБОТА

з дисципліни “ Математичні методи розв’язання інженерних задач ”

Виконав студент ___ курсу групи ___ _________________

Керівник ________________

Структура та оформлення відповідає

вимогам ДСТУ 3008-95 ________________

Вінниця - 2013

ЗМІСТ

ВСТУП 3

ЗАДАЧА 1 4

ЗАДАЧА 2 8

ЗАДАЧА 3 14

ЗАДАЧА 4 20

ЗАДАЧА 5 26

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ 35

ВСТУП

Математичне моделювання є галуззю різноманітних наук, які вивчають основні принципи та інструментарій постановки технічних та економічних задач, побудови їх математичних моделей, методів розв’язування та аналізу цих задач з метою подальшого використання отриманих результатів. Метою розрахункової роботи є вивчення методів розв’язування різних типів задач.

В розрахункової роботі розглядаються основні методи розв’язування, аналізу та використання задач зі знаходженням екстремуму функції на множині допустимих варіантів у широкому спектрі теоретико-економічних та практичних проблем.

ЗАДАЧА 1

Побудувати на площині множину розв’язків (багатокутник) системи лінійних обмежень-нерівностей й геометрично знайти найбільше та найменше значення лінійної функції в цьому багатокутнику (x₁³ 0, x₂³ 0).

Розв’язання

Задана економіко-математична модель є моделлю задачі лінійного програмування, що містить лише дві змінні, і тому може бути розв’язана графічно.

Перший крок згідно з графічним методом полягає в геометричному зображенні допустимих планів задачі, тобто у визначенні такої області, де водночас виконуються всі обмеження моделі. Замінимо знаки нерівностей на знаки строгих рівностей і побудуємо графіки відповідних прямих (рис. 1. 1. ).

Рисунок 1. 1

Кожна з побудованих прямих поділяє площину системи координат на дві півплощини. Координати точок однієї з півплощин задовольняють розглядувану нерівність, а іншої — ні. Щоб визначити необхідну півплощину (на рис. 1. 1 її напрям позначено стрілкою), потрібно взяти будь-яку точку і перевірити, чи задовольняють її координати зазначене обмеження. Якщо задовольняють, то півплощина, в якій міститься вибрана точка, є геометричним зображенням нерівності. Інакше таким зображенням є інша півплощина.

Умова невід’ємності змінних х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0 обмежує область допустимих планів задачі першим квадрантом системи координат. Переріз усіх півплощин визначає область допустимих планів задачі — шестикутник OABCDE. Координати будь-якої його точки задовольняють систему обмежень задачі та умову невід’ємності змінних. Тому поставлену задачу буде розв’язано, якщо ми зможемо відшукати таку точку багатокутника OABCDE, в якій цільова функція Z набирає найбільшого та найменшого значення.

Для цього побудуємо вектор , координатами якого є коефіцієнти при змінних у цільовій функції задачі. Вектор завжди виходить із початку координат і напрямлений до точки з координатами (х₁ = с₁; х₂ = с₂). У нашій задачі вектор . Він задає напрям збільшення значень цільової функції Z, а вектор, протилежний йому, — напрям їх зменшення.

Побудуємо лінію, що відповідає, наприклад, значенню Z=0. Це буде пряма 50х₁ + 30х₂ = 0, яка перпендикулярна до вектора і проходить через початок координат. Оскільки в даному прикладі необхідно визначити найбільше значення цільової функції, то пересуватимемо пряму 50х₁ + 30х₂ = 0 паралельно самій собі згідно з напрямом вектора доти, доки не визначимо вершину багатокутника, яка відповідає оптимальному плану задачі.

Із рис. 1. 1 видно, що останньою спільною точкою прямої цільової функції та багатокутника OABCDE є точка С. Координати цієї точки є оптимальним планом задачі.

Координати точки С є розв’язком системи рівнянь

(1. 1)

(1. 2)

звідси маємо: х₁ = 50; х₂ = 60.

Отже,

Виходячи з аналогічних міркувань, знаходимо, що , х₁ = 0; х₂ = 0.

Перевіримо правильність рішення задачі за допомогою MS Excel (див. рис. 1. 2-1. 6).

Рисунок 1. 2

Рисунок 1. 3

Рисунок 1. 4

Рисунок 1. 5

Рисунок 1. 6

ЗАДАЧА 2

Симплексним методом знайти розв’язок задачі.

Розв’язання

2. 1 Знаходження першого опорного плану задачі

Запишемо систему обмежень задачі в канонічному вигляді. Для цього перейдемо від обмежень-нерівностей до строгих рівнянь, увівши до лівої частини обмежень додаткові змінні х₅ та х₆:

(2. 1)

У цільовій функції Z додаткові змінні мають коефіцієнти, які дорівнюють нулю:

(2. 2)

Канонічну систему обмежень задачі запишемо у векторній формі:

(2. 3)

де

(2. 4)

Оскільки вектори та одиничні та лінійно незалежні, то саме з них складається початковий базис у зазначеній системі векторів. Змінні задачі х₅ та х₆, що відповідають одиничним базисним векторам, називають базисними, а решту — вільними змінними задачі лінійного програмування. Прирівнюючи вільні змінні до нуля, з кожного обмеження задачі дістаємо значення базисних змінних:

(2. 5)

Згідно з визначеними векторна форма запису системи обмежень цієї задачі матиме вигляд:

. (2. 6)

Оскільки додатні коефіцієнти х₅ та х₆ відповідають лінійно незалежним векторам, то за означенням

(2. 7)

є опорним планом задачі і для цього початкового плану

. (2. 8)

2. 2 Складання симплексної таблиці для першого опорного плану

Складемо симплексну таблицю для першого опорного плану задачі.

Елементи останнього рядка симплекс-таблиці є оцінками _j, за допомогою яких опорний план перевіряють на оптимальність. Їх визначають так:

; (2. 9)

; (2. 10)

; (2. 11)

; (2. 12)

; (2. 13)

. (2. 14)

У стовпчику «План» оцінкового рядка записуємо значення цільової функції Z, якого вона набуває для визначеного опорного плану: .

2. 3 Перевірка опорного плану на оптимальність

Після обчислення всіх оцінок опорний план перевіряємо на оптимальність. Для цього продивляємось елементи оцінкового рядка. Якщо всі (для задачі на max) або (для задачі на min), то визначений опорний план є оптимальним. Якщо ж в оцінковому рядку є хоча б одна оцінка, що не задовольняє умову оптимальності (від’ємна в задачі на max або додатна в задачі на min), то опорний план є неоптимальним і його можна поліпшити.

У цій задачі в оцінковому рядку дві оцінки та від’ємні, тобто не задовольняють умову оптимальності, і тому перший визначений опорний план є неоптимальним. За алгоритмом симплекс-методу необхідно від нього перейти до іншого опорного плану задачі.

2. 4 Перехід від одного опорного плану до іншого

Перехід від одного опорного плану до іншого здійснюють зміною базису, тобто через виключення з поточного базису якоїсь змінної та включення замість неї нової з числа вільних змінних.

Для введення до нового базису вибираємо змінну х₂, оскільки їй відповідає найбільша за абсолютною величиною оцінка з-поміж тих, які не задовольняють умову оптимальності (|–10|> |–8|).

Щоб визначити змінну, яка підлягає виключенню з поточного базису, для всіх додатних елементів стовпчика «х₂» знаходимо відношення і вибираємо найменше значення. Згідно з даними симплексної таблиці маємо, що , і тому з базису виключаємо змінну х₅, а число а₁₂ = 3 — розв’язувальний елемент. Дальший перехід до нового опорного плану задачі полягає в побудові наступної симплексної таблиці, елементи якої розраховуємо за методом Жордана–Гаусса.

Друга симплексна таблиця має такий вигляд:

У цій таблиці спочатку заповнюємо два перших стовпчики «Базис» і «С_баз», а решту елементів нової таблиці розраховуємо за розглянутими нижче правилами:

1. Кожний елемент розв’язувального (напрямного) рядка необхідно поділити на розв’язувальний елемент і отримані числа записати у відповідний рядок нової симплексної таблиці.

2. Розв’язувальний стовпчик у новій таблиці записують як одиничний з одиницею замість розв’язувального елемента.

3. Якщо в напрямному рядку є нульовий елемент, то відповідний стовпчик переписують у нову симплексну таблицю без змін.

4. Якщо в напрямному стовпчику є нульовий елемент, то відповідний рядок переписують у нову таблицю без змін.

Усі інші елементи наступної симплексної таблиці розраховують за правилом прямокутника.

Щоб визначити будь-який елемент нової таблиці за цим правилом, необхідно в попередній симплексній таблиці скласти умовний прямокутник, вершини якого утворюються такими числами:

1 – розв’язувальний елемент (число 1);

2 – число, що стоїть на місці елемента нової симплексної таблиці, який ми маємо розрахувати;

3 та 4 – елементи, що розміщуються в двох інших протилежних вершинах умовного прямокутника.

Необхідний елемент нової симплекс-таблиці визначаємо за такою формулою:

Наприклад, визначимо елемент , який розміщується в новій таблиці в другому рядку стовпчика «х₄». Складемо умовний прямокутник:

Тоді . Це значення записуємо в стовпчик «х₄» у другому рядку другої симплексної таблиці.

Аналогічно розраховуємо усі елементи нової симплексної таблиці, у тому числі й елементи стовпчика «План» та оцінкового рядка. Наявність двох способів зображення визначення оцінок опорного плану (за правилом прямокутника та за відповідною формулою) дає змогу контролювати правильність арифметичних обчислень на кожному кроці симплекс-методу.

Після заповнення нового оцінкового рядка перевіряємо виконання умови оптимальності Z_j– с_j ≥ 0 для другого опорного плану. Цей план також неоптимальний, оскільки . Використовуючи процедуру симплекс-методу, визначаємо третій опорний план задачі, який наведено у вигляді таблиці:

В оцінковому рядку третьої симплексної таблиці немає від’ємних чисел, тобто всі і задовольняють умову оптимальності. Це означає, що знайдено оптимальний план задачі:

(2. 15)

або

Х* = (48; 118; 0; 0; 0; 0); (2. 16)

. (2. 17)

Перевіримо правильність рішення задачі за допомогою MS Excel (див. рис. 2. 1-2. 3).

Рисунок 2. 1

Рисунок 2. 2

Рисунок 2. 3

ЗАДАЧА 3

Побудувати двоїсту задачу до заданої та знайти її розв’язок. Використовуючи теореми двоїстості знайти розв’язок прямої задачі. Задана пряма задача має вигляд:

max Z = – 5x₁ + 2x₂;

Розв’язання

Двоїста задача утворюється за такими правилами:

1. Кожному обмеженню прямої задачі відповідає змінна двоїстої задачі. Кількість невідомих двоїстої задачі дорівнює кількості обмежень прямої задачі.

2. Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеження двоїстої задачі, причому кількість обмежень двоїстої задачі дорівнює кількості невідомих прямої задачі.

3. Якщо цільова функція прямої задачі задається на пошук найбільшого значення (max), то цільова функція двоїстої задачі – на визначення найменшого значення (min), і навпаки.

4. Коефіцієнтами при змінних у цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени системи обмежень прямої задачі.

Двоїстою до задачі

max Z=c₀+ (c, x),

Ax=b, x³ 0,

(записаній у векторно-матричній формі) є

, y³ 0,

де – матриця, транспонована до А; (с, x), (b, y) – скалярні добутки відповідних векторів.

Перш ніж записати двоїсту задачу, необхідно пряму задачу звести до стандартного вигляду. Оскільки цільова функція Z максимізується і в системі обмежень є нерівності, то їх слід звести до виду « ». Тому перше обмеження задачі помножимо на (–1). Після цього знак нерівності зміниться на протилежний. Отримаємо:

max Z = – 5x1 + 2x2; (3. 1)

(3. 2)

За наведеними вище правилами складемо двоїсту задачу:

min F = – y1 + 5y2; (3. 3)

(3. 4)

Оскільки записані задачі симетричні (обмеження прямої та двоїстої задач є лише нерівностями, а змінні обох задач можуть набувати лише невід’ємних значень), то будь-яку з них можна розв’язати симплекс-методом. Наприклад, визначимо спочатку оптимальний план прямої задачі. Для цього застосуємо алгоритм симплекс-методу.

1. max Z = – 5x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 0x₄; (3. 5)

(3. 6)

2. Векторна форма запису системи обмежень має вигляд:

, (3. 7)

де , , , , .

У системі векторів для утворення початкового одиничного базису відсутній один вектор. Тому введемо штучну змінну в перше обмеження.

3. Розширена задача лінійного програмування буде такою:

max Z = – 5x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 0x₄ – Мx₅; (3. 8)

(3. 9)

У цій задачі х₄ та х₅ – базисні змінні, а х₁, х₂, х₃ – вільні. Нехай х₁=х₂=х₃=0, тоді х₄=5; х₅=1.

Перший опорний план задачі:

X₀=(0; 0; 0; 5; 1), Z₀= – M. (3. 10)

4. Подальше розв’язування прямої задачі подано у вигляді симплексної таблиці:

З останньої симплекс-таблиці запишемо оптимальний план прямої задачі:

Х*=(0; 5/3; 2/3; 0), Zmax = 10/3. (3. 11)

Згідно зі співвідношенням двоїстості за першою теоремою (якщо одна з пари спряжених задач має оптимальний план, то й друга задача також має розв’язок, причому для оптимальних розв’язків значення цільових функцій обох задач збігаються) можна зробити висновок, що оптимальний план двоїстої задачі існує і

min F = max Z = 10/3. (3. 12)

Компоненти вектора Y^* (оптимальний план двоїстої задачі) визначимо за формулою:

, (3. 13)

де та міститься в стовпчику «с_баз» останньої симплекс-таблиці;

. (3. 14)

Матриця D^{– 1} також міститься в останній симплекс-таблиці у стовпчиках змінних «x₅» та «x₄», які утворювали початковий базис.

Отже,

, (3. 15)

min F = – 1× 0 + 5× 2/3 = 10/3. (3. 16)

Застосувавши для розв’язування прямої задачі симплекс-метод, ми знайшли її оптимальний план, а потім визначили оптимальний розв’язок двоїстої задачі за допомогою співвідношень першої теореми двоїстості.

Перевіримо правильність рішення прямої задачі за допомогою MS Excel (див. рис. 3. 1-3. 3).

Рисунок 3. 1

Рисунок 3. 2

Рисунок 3. 3

Перевіримо правильність рішення двоїстої задачі за допомогою MS Excel (див. рис. 3. 4-3. 6).

Рисунок 3. 4

Рисунок 3. 5

Рисунок 3. 6

ЗАДАЧА 4

Компанія контролює три фабрики А₁, А₂, А₃, здатні виготовляти відповідно 150, 60 та 80 тис. од. продукції щотижня. Вона уклала договір із чотирма замовниками В₁, В₂, В₃, В₄, яким потрібно щотижня доставляти відповідно 110, 40, 60 та 80 тис. од. продукції. Вартість транспортування 1 тис. од. продукції замовникам з кожної фабрики наведена в таблиці:

Необхідно визначити оптимальний план перевезень продукції від кожної фабрики до замовників, що мінімізує загальну вартість транспортних послуг.

Розв’язання

4. 1 Побудова математичної моделі

Нехай x_ij – кількість продукції, що перевозиться з і-ої фабрики до j-го замовника . Загальні витрати, пов’язані з транспортуванням продукції, визначаються як сума добутків обсягів перевезеної продукції на вартості транспортування 1 тис. од. продукції до відповідного замовника і за умовою задачі мають бути мінімальними. Оскільки транспортна задача за умовою є збалансованою, закритою , то математична модель сформульованої задачі має вигляд:

min Z = 4x₁₁ + 4x₁₂ + 2x₁₃ + 5x₁₄ + 5x₂₁ + 3x₂₂ + x₂₃ + 2x₂₄ + 2x₃₁ + x₃₂ ++ 4x₃₃ +2x₃₄ (4. 1)

за умов:

(4. 2)

4. 2 Знаходження першого опорного плану задачі

Запишемо умови задачі у вигляді транспортної таблиці (табл. 4. 1) та складемо її перший опорний план у цій таблиці методом мінімальної вартості.

Таблиця 4. 1

Загальна вартість перевезень продукції згідно з першим опорним планом визначається у такий спосіб:

Z₁ = 4× 110 + 5× 40 + 1× 60 + 1× 40 + 2× 40 = 820 (ум. од. ). (4. 3)

Перший опорний план транспортної задачі вироджений, оскільки кількість заповнених клітинок у таблиці дорівнює п’яти, а (m+n–1) = 3+4–1=6.

Для дальшого розв’язування задачі необхідно в одну з порожніх клітинок записати «нульове перевезення» так, щоб не порушити опорності плану, тобто можна зайняти будь-яку пусту клітинку, яка не утворює замкненого циклу із заповненими клітинами. Наприклад, заповнимо нулем клітинку А₂В₄. Тепер перший план транспортної задачі є невиродженим, і його можна перевірити на оптимальність методом потенціалів.

4. 3 Перевірка опорного плану на оптимальність

На основі першої умови оптимальності u_i+ v_j= c_ij складемо систему рівнянь (для заповнених клітин таблиці) для визначення потенціалів першого опорного плану:

(4. 4)

Записана система рівнянь є невизначеною, і один з її розв’язків дістанемо, узявши, наприклад, v₄= 0. Тоді всі інші потенціали однозначно визначаються з цієї системи рівнянь: u₁=5, u₂=2, u₃=2, v₁= – 1, v₂= – 1, v₃= – 1. Ці значення потенціалів першого опорного плану записуємо у транспортну таблицю.

Потім згідно з алгоритмом методу потенціалів перевіряємо виконання другої умови оптимальності u_i+ v_j≤ c_ij (для порожніх клітинок таблиці):

А₁B₂: u₁+ v₂= 5 + (–1) = 4 = 4; (4. 5)

А₁B₃: u₁+ v₃= 5 + (–1) = 4 > 2; (4. 6)

А₂B₁: u₂+ v₁= 2 + (–1) = 1 < 5; (4. 7)

А₂B₂: u₂+ v₂= 2 + (–1) = 1 < 3; (4. 8)

А₃B₁: u₃+ v₁= 2 + (–1) = 1 < 2; (4. 9)

А₃B₃: u₃+ v₃= 2 + (–1) = 1 < 4. (4. 10)

Умова оптимальності не виконується для клітинки А₁B₃. Порушення D₁₃=(u₁+v₃)–c₁₃= 4 – 2 = 2 записуємо в лівому нижньому кутку відповідної клітинки.

Отже, перший опорний план транспортної задачі неоптимальний. Тому від нього необхідно перейти до другого плану, змінивши співвідношення заповнених і порожніх клітинок таблиці.

4. 4 Перехід від одного опорного плану до іншого

Потрібно заповнити клітинку А₁B₃, в якій є єдине порушення умови оптимальності. Ставимо в ній знак «+». Для визначення клітинки, що звільняється, будуємо цикл, починаючи з клітинки А₁B₃, та позначаємо вершини циклу почергово знаками «–» і «+». Тепер необхідно перемістити продукцію в межах побудованого циклу. Для цього у порожню клітинку А₁B₃ переносимо менше з чисел х_ij, які розміщені в клітинках зі знаком «–». Одночасно це саме число х_ij додаємо до відповідних чисел, що розміщені в клітинках зі знаком «+», та віднімаємо від чисел, що розміщені в клітинках, позначених знаком «–».

У даному разі , тобто . Виконавши перерозподіл перевезень продукції згідно із записаними правилами, дістанемо такі нові значення: для клітинки А₁B₃ — 40 тис. од. продукції, а для А₂B₃– (60 – 40) = 20 тис. од., а для А₂B₄– (0+40) = 40 тис. од. Клітинка А₁B₄ звільняється і в новій таблиці буде порожньою. Усі інші заповнені клітинки першої таблиці, які не входили до циклу, переписуємо у другу таблицю без змін. Кількість заповнених клітинок у новій таблиці також має відповідати умові невиродженості плану, тобто дорівнювати (n+m – 1).

Отже, другий опорний план транспортної задачі матиме такий вигляд (табл. 4. 2).

Таблиця 4. 2

Розрахуємо значення цільової функції відповідно до другого опорного плану задачі:

Z₂ = 4× 110 + 2× 40 + 1× 20 + 2× 40 + 1× 40 + 2× 40 = 740 (ум. од. ). (4. 11)

Новий план знову перевіряємо на оптимальність, тобто повторюємо описані раніше дії. Другий опорний план транспортної задачі також неоптимальний (має місце порушення для клітинки А₃B₁). За допомогою побудованого циклу, виконавши перехід до третього опорного плану транспортної задачі, отримуємо табл. 4. 3.

Таблиця 4. 3

Визначимо загальну вартість витрат на транспортування продукції згідно з третім опорним планом:

Z₃ = 4× 90 + 2× 60 + 2× 60 + 2× 20 + 1× 40 + 2× 20 = 720 (ум. од. ). (4. 12)

Перевірка останнього плану на оптимальність за допомогою методу потенціалів показує, що він оптимальний. Тому:

. (4. 13)

За оптимальним планом перевезень перший замовник отримує 90 тис. од. продукції з першої фабрики та 20 тис. од. — з третьої. Другий споживач задовольняє свій попит за рахунок виробництва та перевезення 40 тис. од. продукції з третьої фабрики і т. д. При цьому загальна вартість перевезень всієї продукції є найменшою і становить 720 ум. од.

Перевіримо правильність рішення задачі за допомогою MS Excel (див. рис. 4. 1-4. 3).

Рисунок 4. 1

Рисунок 4. 2

Рисунок 4. 3

ЗАДАЧА 5

Дані про роздрібний товарообіг і доходи населення в умовних грошових одиницях в деякій країні за 1996-2007рр. представлені в табл. 5. 1.

Таблиця 5. 1 – Роздрібний товарообіг і доходи населення

Рік	Роздрібний товарообіг, млн. умов. од.,	Доходи населення, млн. умов. од., X

Необхідно розрахувати методом найменших квадратів оцінки параметрів споживчої функції; перевірити достовірність вибраної лінії регресії методом аналізу дисперсій; оцінити лінійний коефіцієнт кореляції; визначити довірчі інтервали для та ; побудувати на одному графіку вихідні дані та знайдену лінію регресії.

Розв’язання

5. 1 Оцінка параметрів споживчої функції

Зв’язок між роздрібним товарообігом і доходом населення носить прямолінійний характер, тому споживча функція має вигляд [3]:

, (5. 1)

де – роздрібний товарообіг;

– особисті доходи громадян;

– константа;

– кутовий коефіцієнт кореляції;

– стохастична складова (залишки).

Для оцінювання параметрів та в рівнянні (5. 1) скористаємось методом найменших квадратів (МНК). Запишемо систему нормальних рівнянь [3]:

(5. 2)

. (5. 3)

Для знаходження та запишемо рівняння оцінок:

, (5. 4)

, (5. 5)

де – моменти першого порядку;

– моменти другого порядку.

; (5. 6)

; (5. 7)

; (5. 8)

; (5. 9)

. (5. 10)

Для зручності розрахунку моментів побудуємо таблицю 5. 2.

Таблиця 5. 2 – Проміжні розрахунки

Рік
						-93
						-75
						-57
						-41
						-31
						-13






Всього

; (5. 11)

; (5. 12)

; (5. 13)

; (5. 14)

; (5. 15)

; (5. 16)

. (5. 17)

Таким чином, маємо споживчу функцію:

. (5. 18)

5. 2 Перевірка достовірності підібраної лінії регресії методом аналізу дисперсій за критерієм Фішера

Розрахуємо критерій Фішера [3]:

(5. 19)

де – обґрунтована складова дисперсії;

– необґрунтована складова дисперсії;

– загальна дисперсія;

, (5. 20)

де – емпіричне значення ;

– теоретичне значення ;

– середнє значення ;

, (5. 21)

. (5. 22)

Виходячи з даних міркувань:

(5. 23)

Таблиця 5. 3 – Таблиця аналізу дисперсій

Компоненти дисперсії	Число ступенів свободи,	Сума квадратів,	Середнє значення суми квадратів,
Регресія
Відхилення від регресії
Всього

Таблиця 5. 4 – Таблиця аналізу дисперсій стосовно даних задачі

Компоненти дисперсії	Число ступенів свободи,	Сума квадратів,	Середнє значення суми квадратів,
Регресія		(0, 928)²*46510=40021, 86	40021, 86
Відхилення від регресії		10*4, 48=44, 8	4, 48
Всього		40066, 66

, (5. 24)

. (5. 25)

Таким чином:

, (5. 26)

де – число ступенів свободи відповідно чисельника і знаменника.

. (5. 27)

, , тобто розходження обґрунтованої та необґрунтованої складових дисперсії носить не випадковий характер і взаємозв’язок між рівнем споживання та рівнем доходу тісний.

5. 3. Оцінка лінійного коефіцієнту кореляції

Оцінку лінійного коефіцієнта кореляції r виконаємо за такою формулою [3]:

, (5. 28)

. (5. 29)

Високий лінійний коефіцієнт кореляції свідчить про тісний взаємозв’язок між роздрібним товарообігом та рівнем доходу.

5. 4 Побудова довірчих інтервалів для , та .

Побудова довірчого інтервалу b для кутового коефіцієнту кореляції виконаємо за такою формулою [3]:

, (5. 30)

де – деяка похибка при оцінці ;

– довірчий коефіцієнт при рівні імовірності та ступенях свободи. Знаходиться за таблицями –розподілу Ст’юдента.

Приймається якісна гіпотеза, відповідно до якої .

Формула для розрахунку має вигляд [3]:

, (5. 31)

. (5. 32)

; (5. 33)

; ; (5. 34)

. (5. 35)

Знайдений інтервал не має значень 0 та 1, тому результати регресії відповідають якісній гіпотезі, згідно до якої , тому робимо висновок про достатню точність оцінки .

Побудову довірчого інтервалу для коефіцієнта виконаємо за такою формулою [3]:

, (5. 36)

де – деяка похибка при оцінюванні ;

, (5. 37)

. (5. 38)

; ; (5. 39)

(5. 40)

До інтервалу входять як від’ємні, так і додатні значення, отже при 95% імовірності похибка при оцінюванні не істотно відмінна від нуля.

Побудову довірчого інтервалу для лінійного коефіцієнту кореляції виконаємо за такою формулою [3]:

, (5. 41)

де – деяка похибка при оцінці ;

– деяка функція при рівні імовірності , коефіцієнті кореляції та деякій точковій оцінці . Оскільки не можна визначити, а, значить, і значення всієї функції невідоме, необхідно скористатися -перетворенням Фішера. Для цього вводимо нову змінну :

(5. 42)

Розподіл приблизно співпадає з нормальним розподілом.

Тоді за таблицею - перетворення Фішера .

Знаходимо

, (5. 43)

. (5. 44)

Визначаємо при 95% рівні імовірності довірчі інтервали для :

; (5. 45)

; (5. 46)

. (5. 47)

Скориставшись знову таблицями -перетворення Фішера, знайдемо тепер граничні значення для :

(5. 48)

(5. 49)

Отже

. (5. 50)

Оцінка лінійного коефіцієнту кореляції є досить точною, а значить, тіснота зв’язку між роздрібним товарообігом та рівнем доходу громадян є дуже високою.

5. 5 Побудова знайденої лінії регресії на одному графіку з вихідними даними

В кінці рішення задачі побудуємо на одному графіку вихідні дані та лінію регресії (рис. 5. 1):

Рисунок 5. 1 – Вихідні дані та лінія регресії

Висновок:

Побудована споживча функція має вигляд: . Розходження обґрунтованої та необґрунтованої складових дисперсії носить не випадковий характер і взаємозв’язок між рівнем споживання та рівнем доходу тісний. Високий лінійний коефіцієнт кореляції свідчить про тісний взаємозв’язок між роздрібним товарообігом та рівнем доходу. Знайдений довірчий інтервал не має значень 0 та 1, тому результати регресії відповідають якісній гіпотезі, згідно до якої , тому робимо висновок про достатню точність оцінки . До довірчого інтервалу входять як від’ємні, так і додатні значення, отже при 95% імовірності похибка при оцінюванні не істотно відмінна від нуля. Оцінка лінійного коефіцієнту кореляції є досить точною, а значить, тіснота зв’язку між роздрібним товарообігом та рівнем доходу громадян є дуже високою.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Наконечний С. І., Савіна С. С. Математичне програмування: Навч. посіб. – К.: КНЕУ, 2003. – 452 с.

2. Курицкий Б. Я. Поиск оптимальных решений средствами Ехсеl 7. 0. – СПб.: ВНV, 1997. – 384 с.

3. Наконечний С. І., Терещенко Т. О., Романюк Т. П. Економетрія: Підручник. – К.: КНЕУ, 1997. – 352с.

⇐ Предыдущая 1 23