Фамилия, имя. № задания Пирамида

Фамилия, имя	№ задания " Пирамида"
Акперов Эмиль	10_1
Бурый Арсений	7_3
Войцеховский Павел	7_2
Горбуля Дмитрий	6_1
Евчук Ян	7_2
Ерофеева Алина
Желязко Анастасия
Ким Вячеслав	7_1
Комовзов Александр	8_2
Ли Екатерина
Миненко Игорь	6_2
Мирошниченко Георгий	7_1
Морозова Ирина	8_1
Никифорова Татьяна
Петров Иван	10_2
Попова Ольга
Рассказов Виктор	8_1
Сивенков Сергей	10_3
Смотрова Дарья
Титов Денис	8_2
Толочко София	7_3
Улин Илья
Федотова Софья	10_4
Шереметьева Диана	6_1
Шушаков Андрей	6_2
Якобович Дарья

Стереометрия. Часть 2

ПИРАМИДА

5. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB=5 и диагональю BD=9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF=BE=4. а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB. б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

6. 1. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT: TD=2: 1. Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

6. 2. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT: TD=1: 2. Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

7. 1. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=6. Длины боковых рёбер пирамиды SA=3, SB=5, SD= . а) Докажите, что SA — высота пирамиды. б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

7. 2. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=8 и BC=6. Длины боковых рёбер пирамиды SA= , SB= , SD= . а) Докажите, что SA — высота пирамиды. б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

7. 3. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=3. Длины боковых рёбер пирамиды SA= , SB= , SD= . а) Докажите, что SA — высота пирамиды. б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

8. 1. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=6 . а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM: MA=DN: NC=1: 2. Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB.

8. 2. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=5 . а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM: MA=DN: NC=2: 3. Найдите площадь сечения MNB.

9. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона AB основания равна 12, а высота пирамиды равна 1. На рёбрах AB, AC и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM=AN=3 и AK=74. а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны. б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

10. 1. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5: 1, считая от точки C. б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

10. 2. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5: 1, считая от точки C. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

10. 3. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5: 1, считая от точки C. б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

10. 4. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 60, а боковое ребро SA равно 37. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5: 1, считая от точки C. б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.

11. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM=DN=4 и AK=3. а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны. б) Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC.

12. На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM: MB=CN: NB=1: 2. Точки P и Q — середины рёбер DA и DC соответственно. а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

13. На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM: MD=2: 1. Точки P и Q — середины рёбер BC и AD соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

14. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠ BAD+∠ ADC=90°. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K — точка пересечения прямых AB и CD. а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны. б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.

15. Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причём AB=2 , BC=4. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB. а) Докажите, что P — середина отрезка BQ. б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD=4.