Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

Тема 1.8 «Ряды динамики»

1. Ряды динамики. Их виды.

2. Показатели динамических рядов.

3. Исчисление среднего уровня в рядах динамики.

4. Методы выравнивания динамических рядов.

                                        «1»

Одной из задач статистики является изучение явлений во времени. Эта задача решается при помощи построения и анализа рядов динамики.

Например: изменение уровня заработной платы; колебания курса доллара; изменение объёмов производства продукции; изменение численности работников и т. п.

Ряд динамики – это ряд чисел, характеризующих развитие изучаемого явления во времени.

Временные показатели, их которых состоит динамический ряд, называются уровнями динамического ряда (У).

Например:     

Ряды динамики бывают двух видов:

а) моментные;

б) интервальные (периодические).

Моментный ряд – это ряд чисел, характеризующих изменение явления на определённый момент времени. При этом, они могут быть с равными и неравными интервалами времени.

Например: курс доллара на:                     число коров, гол.  

                                                                                           на:

               1. 01 10. 01 15. 01            1. 01   1. 02   1. 03

               30, 25 30, 75  30, 95           165        172    178

Интервальный (периодический) ряд – показывает изменение показателя за определённые промежутки времени (месяц, квартал, год).

Например:        кварталы             объём произ. -ва молока, ц                                              

            1                          1250

            2                          1420  

            3                          1670

            4                          1540

Уровни динамического ряда могут представлять собой абсолютные, относительные и средние величины.

* Уровни интервальных динамических рядов с абсолютными величинами можно суммировать.

Например:            месяцы         фонд зарплаты,

                                                                        тыс. руб.   

                                     январь                      650

                                     февраль                    780

                                     март                          820 

                                  Итого за 1 кв.:             2250

* Уровни моментного ряда суммировать нельзя, т. к. накопленные итоги не будут иметь смысла.

 * Ряд динамики может быть с нарастающими итогами, уровни которого дают обобщающий результат развития показателя с начала отчётного периода.

Например:

Основные требования, предъявляемые к динамическим рядам:

1) показатели должны относиться к одной и той же территории;

2) показатели должны выражаться одинаковыми единицами измерения;

3) показатели должны быть рассчитаны по единой методологии;

4) показатели должны быть приведены в сопоставимый вид.

                                              «2» 

Для характеристики динамических рядов используют следующие показатели:

1) абсолютный прирост (А)

2) темп роста (Т)

3) темп прироста (Т_∆ )                 _

4) средний абсолютный прирост (А_∆ )

                                     _

5) средний темп роста (Т)

                                          _

6) средний темп прироста (Т_∆ )

7) абсолютное значение 1% прироста (а)

8) коэффициент опережения (К_оп)

При этом используется два способа сравнения уровней: базисный и цепной.

При базисном способе сравнения каждый последующий уровень ряда сравнивается с базисным (первоначальным) уровнем.

При цепном способе сравнения каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим.

Абсолютный прирост (отклонение) – это разность между двумя уровнями динамического ряда. Единицы измерения те же, что и у показателя. Может быть положительным или отрицательным.

А_баз. = У_n – У₀;     А_цепн. = У_n – У_n-1, где

У₀ – начальный (базисный) уровень ряда

У_n – последующий уровень ряда

У_n-1 – предыдущий уровень ряда

Пример:

Темп роста – это отношение двух уровней. Измеряется в процентах или коэффициентах. Показывает, насколько процентов или во сколько раз один уровень больше или меньше другого.

                            У_n                                                  У_n

                Т_баз. = ----- * 100%; Т_цепн. = ------ * 100%

                            У₀                                                  У_n-1

 Темп прироста - это разница между темпом роста и 100%. Может быть положительный и, означает прирост показателя, или отрицательный

 (снижение показателя). Выражается в процентах.  

                                           Т_∆ = Т – 100%

Пример:

Вывод: Число студентов в 2021г. по сравнению с 2018г. увеличилось на 310 чел. или на 50%, а по сравнению с 2020г. их численность возросла на 70 чел., что составило 8% прироста.

Средний абсолютный прирост – определяется по формуле:

                              _  У_n – У₀ 

                             А_∆ = -----------

                                          n – 1, где

У_n – конечный уровень ряда

У₀ – начальный (базисный) уровень ряда

n - число периодов

Измеряется в тех же единицах, что и показатель. Может быть с «+» или с «-«

                          _ 930 - 620

В нашем примере: А_∆ = ------------ = 103 чел.

                                          4 – 1  

Вывод: Ежегодно число студентов в среднем увеличивается на 103 чел.

Пример:           месяцы                производство

                                                                молока, т          

1  108

                             2                               102

3                                     96

4                                     90

5                                     84

   _   84 - 108

   А_∆ = ------------ = - 6 (т)

                5 – 1

Вывод: в среднем ежемесячно производство молока снижается на 6 т.  

Средний темп (коэффициент) роста – определяется по формуле средней геометрической:

                  _ ^n-1

                  Т = √ К₁∙ К₂·…∙ К_n, где

К₁, К₂ и т. д. – цепные коэффициенты роста

n – число коэффициентов

или

                   _ ^n-1 У_n

                   Т = √ -----

                                У₀, где

У_n – конечный уровень ряда

У₀ – начальный уровень ряда

n – число периодов

                                             _  _

Средний темп прироста:      Т_∆ = Т – 100%

Например:

_ ^4-1 780 840 930 ³ 930

Т = √ ----- ∙ ----- · ----- = √ ------ = 1, 13 или 113%       

         650 780 840      650

_

Т_∆ = 113 -100%= 13%

Вывод: Ежеквартально в среднем зарплата возрастает в 1, 13 раз или на 13%.

Абсолютное значение 1% прироста – это отношение абсолютного прироста к темпу прироста за этот же период:

                                         А

                                 а = ----

                                         Т_∆

Абсолютное значение 1% прироста можно рассчитать делением предыдущего уровня ряда на 100. Измеряется в тех же единицах, что и сам показатель.

 При сопоставлении динамики двух явлений используется коэффициент опережения.

Коэффициент опережения – это отношение темпов роста или темпов прироста по двум динамическим рядам за один и тот же период времени.

                             Т'                       Т^'_∆   

                  К_оп. = -----       или К_оп. = ----

                             Т^''                                           Т^''_∆

Например: можно сопоставить темпы роста цен и зарплаты

 Цены возросли на 17%

Зарплата выросла на 6%        117 

                                        К_оп. = ----- = 1, 1

                                                  106

Вывод: рост цен опережает рост зарплаты в 1, 1 раза или на 10%.

                                              «3»

Средний уровень ряда определяется по-разному для моментных и интервальных рядов.

1) в моментном ряду с равными интервалами – по средней хронологической простой.

Например:     поголовье коров на:              гол.

1. 01. 800

1. 02. 810

1. 03. 818

1. 04. 822  

_ ½ х₁+ х₂ +х₃ + …+½ х_n    ½ ∙ 800+810+818+½ ·822

х =----------------------------- =------------------------------ = 813 гол.

              n – 1                               4 – 1

2) в моментном ряду с разными интервалами используется средняя хронологическая взвешенная:

_ ( х₁+х₂)f₁ + (х₂+х₃)f₂ +…+(х_n-1 +х_n)f_n-1 

х = -----------------------------------------------

                       2∑ f                               , где

f – промежуток времени между датами

Например: численность работников на:

        1. 01. 11   1. 03. 11 1. 06. 11  1. 09. 11 1. 01. 12

           180          195       189       160       175      

_ (180+195)·2 + (195+189)·3 + (189+160)·3 + (160+175)·4

х = ---------------------------------------------------------------------- = 179 чел.

                          2·( 2+3+3+4 )

3) в интервальном (периодическом) ряду с равными интервалами времени используется средняя арифметическая простая.

Например: годы     валовый сбор, т

      1999                  148

      2000                  152 

      2001                  136

      2002                  161

      2003                  178

    _ ∑ х 148+152+136+161+178

    х = ---- = ------------------------------ = 155 т

            n                     5

4) в интервальном (периодическом) ряду с разными интервалами  используется средняя арифметическая взвешенная.

Например:     месяцы           выпуск продукции, шт.

1 1030

2 1500

3 1620

4 1260

     _ ∑ х·f 1030∙ 3 + 1500·5 + 1620∙ 3 + 1260∙ 1

     х = ------- = -------------------------------------------= 1393 шт.

              ∑ f               3+5+3+1  

                                               «4»

Важной задачей, возникающей при анализе динамических рядов, является определение основной тенденции (тренда) в развитии изучаемого явления. Для характеристики тенденции производят выравнивание (сглаживание) динамического ряда разными способами:

1) метод укрупнения интервалов

Например: месяцы объединяют в кварталы, кварталы – в полугодия, а полугодия – в год и т. п.

При этом значения уровней ряда могут быть просуммированы или могут представлять средние значения.

2) метод скользящей средней      

х₁+х₂+х₃   х₂+х₃+х₄     х₃+х₄+х₅

-----------   ----------- ------------ и т. д. до конца ряда

  3              3              3

3) выравнивание по среднему абсолютному приросту ( используется для прогноза на будущий период).

                               _

       У_{выравн.} = У₀ + А_∆ · t, где

У₀  - начальный уровень ряда

t - порядковый номер периода, начиная с ноля

_

А_∆ - средний абсолютный прирост

У_{выравн.} – выравненное значение уровня ряда

4) выравнивание по среднему темпу роста:

                     _

У_{выравн.} =У₀ ∙ Т ^t   , где

У₀ – начальный уровень ряда

t – порядковый номер периода, начиная с ноля

_

Т – средний темп роста

У_{выравн.} – выравненное значение уровня ряда

5) выравнивание по математическому уравнению(прямой, гиперболы, параболы и т. д. ) – это наиболее совершенный способ.

 у =а +в*х; у = а + в *1/х, где в качестве Х выступает порядковый номер периода, а в качестве У – уровень динамического ряда. Уравнение считается решённым, если найдены параметры «а» и «в».

* Выравнивание способами №№ 3, 4 и 5 используется для экстраполяции.

Экстраполяция - это продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом.

Рассмотрим использование методов выравнивания на конкретном примере:

Таблица 1- Динамика валового производства молока в ООО «Рассвет»

∑ у = nа + в∑ х

∑ ху = а∑ х + в∑ х²

211= 6а + 21в |: 6

765= 21а + 91в |: 21

35, 2 = а + 3, 5в                  35, 2 = а + 3, 5∙ 1, 5

- 36, 4= а + 4, 3в                   35, 2 = а + 5, 3

- 1, 2 = - 0, 8в                       а = 29, 9

   в = 1, 5

                 у = 29, 9 + 1, 5 х

Вывод: Ежемесячно валовое производство молока увеличивается на 1, 5 т.

Для определения прогноза производства молока на июль месяц рассчитаем средний абсолютный прирост:

              _   40 - 32

              А_∆ = ---------- = 1, 6 т

6 – 1

У_{выравн.} = 32 + 1, 6 ∙ 6 = 41, 6 т

Вывод: Можно предположить, что, с учётом сложившейся тенденции, объём производства молока на июль составит 41, 6 т.

________ фактический ряд

________  выравненный ряд по уравнению у= 29, 9 + 1, 5х

Рисунок 1-  Динамика валового производства молока в ООО «Рассвет»

            Контрольные тесты по теме «Ряды динамики»

1. Что такое ряд динамики:

а) ряд чисел, расположенный в порядке возрастания или убывания

б) ряд чисел, характеризующий изменение явлений во времени

в) ряд чисел, характеризующий взаимосвязь между явлениями

2. К какому виду относится данный ряд динамики:

а) моментный

б) периодический

в) вариационный

3. К какому виду относится данный ряд динамики:  

а) моментный

б) дискретный

в) интервальный

4. Разность между двумя уровнями динамического ряда – это:

а) абсолютное значение 1% прироста

б) темп роста

в) абсолютный прирост

5. Отношение двух уровней динамического ряда – это:
а) темп прироста

б) темп роста

в) средний темп роста

6. Соотношение темпов роста или темпов прироста по двум динамическим

рядам за один и тот же период времени – это:

а) коэффициент эффективности

б) коэффициент эластичности

в) коэффициент опережения

7. Как называется продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в

прошлом:

а) корреляция б) экстраполяция в) детерминация

8. Определить среднегодовой темп прироста зарплаты работника:  

а) 5, 6%    б) 19, 4%     в) 28, 3%

Критерии оценки тестирования:  

«5» - 93, 8 % - правильных ответов

«4» - 75 %

«3» - 62, 5 %

«2» - менее 62, 5 %  

Задача 1.  Рассчитать динамику показателей:

Задача 2. Рассчитать среднемесячный выпуск продукции:

Задача 3. Рассчитать среднемесячный абсолютный прирост выпуска продукции и по нему сделать прогноз на июль, если дано:

Задача 4. Рассчитать объём производства нарастающим итогом с начала года:

Задача 5. Рассчитать цепные абсолютные приросты и темпы роста урожайности картофеля:

Задача 6. Рассчитать средний темп роста численности работников предприятия и по нему сделать прогноз на будущий год:

Задача 7. Рассчитать среднегодовую численность работников предприятия, если известны данные на начало каждого месяца:

Задача 8. Произвести выравнивание динамического ряда способом скользящей средней:

Задача 9. Произвести выравнивание динамического ряда по уравнению прямой:

Задача 10. Рассчитать средний уровень ряда и средний абсолютный прирост по остаткам товара на складе:

Задача 11. Рассчитать абсолютный прирост и темп роста показателей:

Задача 12. Произвести выравнивание динамического ряда по уравнению у= а+ в*х: