01.04.22. тема «Определение геометрической прогрессии»

01. 04. 22. тема «Определение геометрической прогрессии»

1. Устная работа.

Подставьте в квадратик пропущенный элемент, назовите формулу для арифметической прогрессии (а_п).

а) а_п_{+ 1} = а₁ + o;

б) а_п = а₁ + d · o;

в) 2а_п = o + а_п_{+ 1};

г) o = kn + b;

д) ;

е) .

2. Изучение нового материала.

1. Рассмотрим решение задачи практического характера, например по расчету банковских процентов.

З а д а ч а. Родители девятиклассника положили на его имя в банк 10000 рублей на счет, по которому сумма вклада ежегодно возрастает на 9 %. Какая сумма будет на счету к его совершеннолетию через три года? Через шесть лет?

Р е ш е н и е

Начальная сумма вклада составляет 10000 р. Через год эта сумма возрастает на 9 % и составит 109 % от 10000 р. Обозначим b₁ сумму на счету к концу первого года, тогда b₁ = 10000 · 1, 09 (р. ). К концу второго года уже сумма b₁ увеличится на 9 % и составит b₂ = b₁ · 1, 09. К концу третьего года сумма составит b₃ = b₂ · 1, 09. И так далее.

Рассмотрим последовательность b₁, b₂, b₃, … b₆, … b_п, в ней каждый член, начиная со второго, получен умножением предыдущего члена на 1, 09. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

2. Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

(b_п) – геометрическая прогрессия, если для любого n N выполняются условия b_п ≠ 0 и b_п_{+ 1} = b_п · q, где q – некоторое число. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии, так как из определения следует, что = q.

Геометрическая прогрессия – частный вид последовательности, заданной рекуррентным способом.

3. Характер поведения геометрической прогрессии в зависимости от значений q, разберем детально:

а) Пусть q > 1, тогда члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и возрастают по модулю.

П р и м е р: 1; 3; 9; 27; 81; … (то есть b₁ = 1, q = 3) или

–2; –8; –32; … (то есть b₁ = –2, q = 4).

б) Если 0 < q < 1, то члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и убывают по модулю.

П р и м е р: (то есть b₁ = 1, q = ) или

(то есть b₁ = –1, q = ).

в) Пусть q < –1, тогда члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, убывающие по модулю.

П р и м е р: (то есть b₁ = –8, q = ).

д) При q = 1 все члены геометрической прогрессии одинаковы, то есть b₁; b₁; b₁; …; b₁; …, а при q = –1 все члены геометрической прогрессии отличаются друг от друга лишь знаками, то есть: а₁; –а₁; а₁; –а₁; …

1. Вернемся к решению задачи с банковскими процентами. Мы имеем геометрическую прогрессию (b_п), где b₁ = 10000, q = 1, 09. Сумма, накопленная вкладчиком, через три года будет равняться четвертому члену этой прогрессии, а через шесть лет – седьмому.

В ы ч и с л и м: b₄ = 10000 · (1, 09)³ ≈ 12950;

b₇ = 10000 · (1, 09)⁶ ≈ 16771.

О т в е т: на счету у вкладчика через три года окажется сумма, приближенно равная 12950 р.; через шесть лет – 16771 р.

3. Решить:

№ 623 (а, в), № 624 (а, в, д).

Домашнее задание: п. 27 № 623 (б, г), № 624 (б, г, е).