Задачи для самостоятельного решения

Пример 4. 5. Построить для функции f(x) = sin(π x) на отрезке [0; 2] наилучший интерполяционный многочлен 3-го порядка. Построить графики многочлена и данной функции в одной системе координат.

Решение. Наилучший интерполяционный многочлен 3-го порядка мы получим, если в качестве узлов интерполяции точки выберем точки по формуле (4. 30):

Для вычисления многочлена воспользуемся формулой Лагранжа и аналогично примеру 4. 4 составим формулы. В таблице 4. 7 приведены расчетные формулы.

Табл. 4. 7.

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
x=
i	x_i	y_i						Di	yi/Di
	0, 076	0, 237	=x-$B3	=B3-B$4	=B3-B$5	=B3-B$6		=ПРОИЗВЕД (D3: G3)	=C3/I3
	0, 617	0, 934	=B4-B$3	=x-$B4	=B4-B$5	=B4-B$6		=ПРОИЗВЕД (D4: G4)	=C4/I4
	1, 383	-0, 934	=B5-B$3	=B5-B$4	=x-$B5	=B5-B$6		=ПРОИЗВЕД (D5: G5)	=C5/I5
	1, 924	-0, 237	=B6-B$3	=B6-B$4	=B6-B$5	=x-$B6		=ПРОИЗВЕД (D6: G6)	=C6/I6

									=СУММ (J3: J6)
							=D3E4 F5*G6		=H9*J8

Поочередно подставляя в ячейку B1 значения 0; 0, 2; 0, 4; …, 2 в ячейке J9 получим значения многочлена L₃(x). Вычислим в тех же точках sin(π x). Результаты приведены в таблице 4. 8. На рис. 4. 2 приведены графики многочлена L₃(x) и данной функции sin(π x).

Табл. 4. 8

x	L₃(x)	sin(π x)
	-0, 195
0, 2	0, 733	0, 587785
0, 4	1, 068	0, 951057
0, 6	0, 959	0, 951057
0, 8	0, 554	0, 587785
		5, 36E-08
1, 2	-0, 554	-0, 58779
1, 4	-0, 959	-0, 95106
1, 6	-1, 068	-0, 95106
1, 8	-0, 733	-0, 58779
	0, 195	-1, 1E-07

Рис. 4. 2

Как видно из рис. 4. 2, графики хорошо согласуются. Это объясняется тем, что кубическая парабола учитывает симметрию синусоиды на данном участке. Очевидно, что если бы мы выбрали четный многочлен L₂(x) или L₄(x), то такого приближения не получили.

Задачи для самостоятельного решения

Для функции y = f(x) на отрезке [a, b] построить интерполяционный многочлен Чебышева 3-го порядка. Построить графики данной функции и многочлена Чебышева. Варианты функций f(x) и отрезков [a, b] приведены в табл. 4. 13.

Таблица 4. 13

№ варианта	f(x)	[a, b]	№ варианта	f(x)	[a, b]
	sin³(π x)	[– 1, 1]		2sin(π x)	[– 1, 1]
	2sin(π x/2)	[– 2, 2]		x cos x/(1 + x²)	[– 3, 3]
	x³/27	[– 3, 3]		x³/(1 + x²)	[– 2, 2]
	x⁵/16	[– 2, 2]		(sin x³)/(1 + x²)	[– 2, 2]
	tg(π x)	[– 1, 1]		2 x³+x	[– 1, 1]
	sin(π x)	[– 1, 1]		2sin(π x/3)	[– 3, 3]
	x³/(1 + x²)	[– 2, 2]		x/(1 + x²)	[– 2, 2]
	(sin x)/(1 + x²)	[– 3, 3]		x³/(1 + x²)	[– 2, 2]
	2x/(1 + x²)	[– 4, 4]		2 x⁵+15 x	[– 5, 5]
	ctg³(π x)	[– 1, 1]		x³– x	[– 5, 5]