Тема: Конус - урок 2

Цели урока: - закрепление знаний о конической поверхности, конусе;

- умение работать с чертежом и читать его;

- применение знаний в решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Тема урока, цель урока.

II. Актуализация опорных знаний

Математический диктант

I вариант	II вариант
1. Равнобедренный треугольник. 2. Круг. 3. Равнобедренный треугольник. 4. 50 см2. 5.	1. Круг. 2. Прямоугольник. 3. Гипербола. 4. 9 см2. 5.

Проверяем задание домашней работы.

Задача № 1 Дано: конус, АР = 12 см. ∠ PAO = α. a) ∠ PAO = 30°. б) ∠ PAO = 45°. в) ∠ PAO = 60° (рис. 1).

Найти: Sосн.

Решение: 1) Из Δ РАО r = ОА = 12 · cos α. 2)

3) Если α = 30°, то если α = 45°, то если α = 60°, то

(Ответ: 108π, 72π, 36π см2..

Задача № 2

Дано: конус, ОР = 8 дм. (рис. 2).

Найти: РO2.

Решение: Сечение и основание конуса - круги - подобные фигуры. Δ АОР ∞ Δ AОР с коэффициентом 1/2. (Ответ: 4 дм. )

III. Решение задач по готовым чертежам

Задачи даются по нарастающей сложности:

1. Дано: Конус, ∠ ABC = 120°, АВ = 6 (рис. 3).

Найти: R, Н.

Решение:

1) Δ АВС - равнобедренный, угол при основании ∠ A = ∠ С = 30°.

2) Из Δ АВО Н = ВО = 3. (Ответ: H = 3, R = 3√ 3. )

2. Дано: Конус. Δ АВС - равносторонний, АВ = 12, R = 10 (рис. 4).

Найти: OK, Н.

Решение:

1) Из Δ ВОС по теореме Пифагора

2) Δ ABC - равносторонний, АС = 12, СК = 6. Из Δ СОК по теореме Пифагора ОК2 = ОС2 - СК2, (Ответ: Н = 2√ 11, ОК = 8. )

3. Высота конуса равна h. Через образующие МА и MB проведена плоскость, составляющая угол α с плоскостью основания. Хорда АВ стягивает дугу с градусной мерой β (рис. 5).

1) Докажите, что сечение конуса плоскостью МАВ - равнобедренный треугольник;

2) Объясните, как построить линейный угол двугранного угла, образованного секущей плоскостью и плоскостью основания;

3) Найдите МС;

4) Составьте (и объясните) план вычисления длины хорды АВ;

5) Составьте план вычисления площади сечения МАВ;

6) Покажите на рисунке, как можно провести перпендикуляр из точки О к плоскости сечения МАВ (обоснуйте построение).

Решение:

1) Образующие конуса равны. Следовательно, стороны Δ МАВ МА = MB, Δ МАВ - равнобедренный.

2) Δ АОВ - равнобедренный, так как две стороны - радиусы окружности. Δ АМВ - равнобедренный, так как две стороны-образующие конуса. Треугольники имеют общее основание. Значит, высоты этих треугольников имеют общую точку - середину основания АВ. По определению линейного угла: угол МСО - является линейным углом двугранного угла, образованного секущей плоскостью МАВ и плоскостью основания конуса.

3) Из Δ СОМ

4) Из Δ СОМ Δ АОВ - равнобедренный. ОС - высота является медианой и биссектрисой. Из Δ ВОС - прямоугольный.

5) .

6) Плоскость СОМ перпендикулярна плоскости ВАМ, т. к. одна из плоскостей (СОМ) проходит через перпендикуляр к другой (ВС). Поэтому перпендикуляр OO1 к прямой МС является перпендикуляром к плоскости ВАМ.

Учащиеся могут объяснять и по-другому: Строим OO1 ⊥ СМ, получаем OO1 перпендикулярен двум пересекающимся прямым МС и ВС, следовательно, OO1 - перпендикуляр к плоскости ВАМ. В зависимости от уровня класса в 5) и 6) задании можно рассказать только план решения.

V. Решение задач учебника

Задача № 4

Строим чертеж к задаче и обсуждаем:

Назовите длину образующей конуса – 2r.

Какая фигура получается сечением конуса, проходящим через 2 образующие? Равнобедренный треугольник, две стороны которого 2r и угол между ними задан - 30°.

Вспомните и подберите нужную формулу площади треугольника.