10.3. Анализ устойчивости по ЛЧХ

Лабораторная работа № 5

Определение запасов устойчивости систем

Таблица 5. 1. Варианты параметров систем

Вариант	W₀(p)	Вариант	W₀(p)
		7
		8
		9
		10
		11
		12

По критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами
(-1; j0).

Устойчивость замкнутой системы определяем по АФЧХ разомкнутой. Определим характеристическое уравнение разомкнутой системы, например, для передаточной функции

Составляются вектора коэффициентов и производится частотное преобразование для диапазона частот

Текст программы в диапазоне от 0, 1 до 30 Гц с шагом 0, 01 Гц:

num=[1];

den=[4 5 3 1];

W1=tf(num, den)

w=0. 1: 0. 01: 3;

APK=freqs(num, den, w);

u=real(APK);

v=imag(APK);

t=0: pi/100: 2*pi;

x=sin(t);

y=cos(t);

figure(1)

plot(u, v, x, y);

grid;

axis equal

Рисунок 5. АФЧХ разомкнутой системы

Замкнутая система устойчивая т. к. разомкнутая система не охватывает точку -1, j0

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т. п. ). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать САУ так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости.

Согласно критерия Найквиста, чем дальше АФЧХ от критической точки (-1, j0), тем больше запас устойчивости. Различают запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой САУ от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

Как уже отмечалось, с ростом коэффициента передачи разомкнутой САУ растет модуль каждой точки АФЧХ и при некотором значении K = Kкр АФЧХ пройдет через критическую точку (рис. 76) и попадет на границу устойчивости, а при K > Kкр замкнутая САУ станет неустойчива. Однако в случае “клювообразных” АФЧХ (получаются из-за наличия внутренних обратных связей) не только увеличение, но и уменьшение K может привести к потере устойчивости замкнутых САУ (рис. 77). В этом случае запас устойчивости определяется двумя отрезками h1 и h2, заключенными между критической точкой и АФЧХ.

Обычно при создании САУ задаются требуемыми запасами устойчивости h и, за пределы которых она выходить не должна. Эти пределы выставляются в виде сектора, вычерчиваемого вокруг критической точки, в который АФЧХ разомкнутой САУ входить не должна (рис. 78).

10. 3. Анализ устойчивости по ЛЧХ

Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой САУ. Очевидно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых САУ (1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи K1 < K2. Пусть первая САУ устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет. (рис. 79).

Если W1(p) - передаточная функция первой САУ, то передаточная функция второй САУ W2(p) = K*W1(p), где K = K2/K1. Вторую САУ можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K (безынерционное звено) и W1(p), поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев.

Поэтому ЛАЧХ второй САУ: L2(w) = 20lgK + L1(w), а ЛФЧХ: j2(w) =j1(w).

Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы j = -p. Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ j = -p линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитуды A1(w) < 1, A2(w) > 1, что соответствует на САЧХ значениям L1(w) = 20lgA1(w) < 0 и L2(w) > 0.

Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ j = -p будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю h1 и h2, определенным по АФЧХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где j = -p, но в логарифмическом масштабе.

Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты wc1 и wc2, при которых это происходит называют частотами среза.

В точках пересечения A(w) = 1 = > L(w) = 0 - ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ jc1> -p (рис. 79а кривая 1), то замкнутая САУ устойчива. На рис. 79б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии j = -p. И наоборот для неустойчивой замкнутой САУ (рис. 79а кривая 2) jc2< -p, поэтому при j = =c2 ЛФЧХ проходит ниже линии j = -p. Угол j1 = jc1-(-p) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии j = -p до ЛФЧХ.

Исходя из сказанного, критерий устойчивости Найквиста по логарифмическим ЧХ, в случаях, когда АФЧХ только один раз пересекает отрезок вещественной оси [-¥; -1], можно сформулировать так: для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы частота, при которой ЛФЧХ пересекает линиюj = -p, была больше частоты среза.

Если АФЧХ разомкнутой САУ имеет сложный вид (рис. 80), то ЛФЧХ может несколько раз пересекать линию j = -p. В этом случае применение критерия Найквиста несколько усложняется. Однако во многих случаях данной формулировки критерия Найквиста оказывается достаточно.