Тензор углового момента

ТЭН

Пусть Лагранжиан системы инвариантен относительно трансляций:

Или, как будет часто предполагаться, Лагранжиан не зависит от координат .

Как помним теорема Нерет говорит о сохранении следующих величинах:

Преобразования координат приводящие к закону сохранения этих величин являются четырех парметрическими .
Значит в этом случае:

Подставляя, получаем:

где

То есть сохраняющейся величиной является:

Где тензор энергии импульса:

Четырех вектор с , то есть:

Называется вектором четырех импульса поля. Связано это с той аналогией которая возникает с механикой. А именно, компонента с :

Напоминает выражение для гамильтониана в классической механике:

Поэтому ассоциируется с энергией. А величины:

Определяют импульс поля. Таким образом, сохранение энергии – импульса имеет место для любой системы, лагранжиан которой не зависит явно от координат. Сделаем оба индекса контра вариантными или ковариантными:

Есть некоторые физические причины, по которым предпочтительно использовать симметричный тензор энергии импульса:

Примером такой причины можно взять из ибщей теории относительности. Уравнения Эйнштейна имеют вид:

Где тензор Римана, скалярная кривизна, ТЭН. Левая часть этого равенства симметричная, значит должна быть симметричной и правая часть.

Однако ТЭН найденный по лагранжиану поля не всегда получается симметричным, но его можно сделать симметричным путем некоторого преобразования, а именно…

Как для так и для должно выполнятся уравнение непрерывности:

Которое можно написать так:

Где из тензора выделена симметричная часть и величина которая является антисимметричной по индексам , а значит:

То есть:

Где новая величина так же называется тензором энергии импульса, а именно симметризованным тензором энергии импульса, в отличии от величины которая называется каноническим ТЭН.

Примером подобного обстоятельства может служить ТЭН электромагнитного поля:

Тензор углового момента

Для введения тензора углового момента рассмотрим преобразования координат и полей связанные с преобразованиями Лоренца. Лоренц инвариантность является одним из требований предъявляемых к современным теориям. Бесконечно малые преобразования координат запишем в виде:

Величины не являются произвольными. Именно, так как преобразования Лоренца сохраняют квадраты интервалов, то должно быть:

Величину второго порядка малости по можно отбросить, тогда:

Для того что бы последнее выражение было равно надо положить . В виду этого условия в матрице линейно независимыми являются всего 6 величин, индексы нумеруют плоскость в которой происходит вращение: .

Далее, при преобразованиях Лоренца, поля преобразуются по некоторому представлению группы Лоренца которое обозначим как .

Около единичного элемента матричной группы элемент группы можно представить в виде:

Коэффициент введен для того, что бы два раза не учитывать одно и то же слагаемое и . Тут

есть генераторы алгебры Ли группы , и они тоже матрицы, то есть индексы это не индексы элемента матрицы , а индексы генераторов. Генераторы должны удовлетворять тому же коммутационному соотношению что и генераторы группы Лоренца, хотя эта информация нам пока не пригодится. Далее, так как преобразования бесконечно малые, то элемент группы можно представить в виде:

А поля , если собрать их в один столбец:

Преобразуются согласно равенству:

То есть преобразования полей и координат имеют вид:

Как видно, в этом случае преобразования координат и полей являются шести параметрическими.

Далее, можно написать:

Далее напишем:

Тогда:

Где:

Таким образом мы пришли к уравнению непрерывности для тока который называют тензором углового момента. При этом отдельно, величину называют тензором орбитального момента, а величину тензором спина.

Сохраняющийся же угловой момент имеет вид:

Можно рассматривать только пространственные компоненты выписанного выражения, то есть и построить компоненты трехмерного вектора по формуле:

Построенный вектор называют вектором углового момента. Аналогично строятся вектора орбитального момента и спина: