МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет вычислительной техники

Кафедра «Высшая и прикладная математика»

Лабораторная работа № 2

по дисциплине «Интегральные уравнения»

на тему «Решение линейного сингулярного интегрального
уравнения»

Выполнила: студентка гр. 18ВГм2

Краснухина К. А.

Проверила: к. ф. -м. н., доцент

Бойкова А. И.

Пенза 2020

Метод коллокаций для сингулярного уравнения

Сингулярное уравнение имеет следующий вид:

(1)

где - замкнутый контур на комплексной области.

Приближенное решение уравнения (1) ищем по формуле

(2)

где - неизвестные коэффициенты.

Далее введем сетку узлов коллокации

(3)

Подставим (2) в (1) и по узлам (3), получим соотношение

Интегралы выше вычисляем аналитически по форумеСохоцкого, тогда получим следующую систему для определения неизвестных коэффициентов

(4)

Погрешность решений будет искать как максимум модуля разности между точным и приближенным значением

Выполнение работы

(5)

где - единичная окружность.

Точное решение уравнения (5): .

Результаты вычислений представлены в таблице 1

N
	0. 0000002000000000
	0. 0000002828427125
	0. 00000003605551275
	0. 00000000734664908
	0. 00000003000000000
	0. 00000001414213562
	0. 00000001414213562
	0. 00000002236067978
	0. 00000001414213562
	0. 00000001414213562

Листинг

0. 00000103444642200000

0. 00000028317996040000

0. 00000071881538660000

0. 00000028253750730000

0. 00000056199368320000

0. 00000183948990500000

0. 00000097676444810000

0. 00000166039586200000

0. 00000065687555810000

0. 00000358284112100000

Вывод

Целью лабораторной работы решение сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах, применяя метод коллокаций. При выполнении лабораторной работы, в Maple была разработана программа, реализующая данный метод. Оценили погрешность приближенного метода путем сравнения приближённого решения сингулярного интегрального уравнения с его точным решением.