Замечание. Данноеутверждениеназывают пространственнойтеоремойПифагора.

ранеемы с вами уже познакомились с параллелепипедом. Напомню, что параллелепипед – эточетырехугольная призма, основаниямикоторойявляютсяпараллелограммы.

Выяснили, чтоесли все боковые ребра параллелепипедаперпендикулярны к плоскостям его оснований, т. е. боковые грани – прямоугольники, то такойпараллелепипедназывается прямым. Еслипараллелепипед не являетсяпрямым, т. е. если все его боковые ребра не перпендикулярны к плоскостям оснований, то он называется наклонным. Если же и основаниями прямого параллелепипедаслужатпрямоугольники, то такойпараллелепипедназывается прямоугольным.

А также узнали, что параллелепипедобладаетследующимисвойствами:

1) противолежащие грани параллелепипедаравны и лежат в параллельныхплоскостях.

2) диагоналипараллелепипедапересекаются в однойточке и делятсяэтойточкой пополам.

Сегоднямыподробнейрассмотримпрямоугольныйпараллелепипед и выясним, какимисвойствами он обладает.

Давайте представим себе комнату, имеющую форму прямоугольногопараллелепипеда. Если говорить о ееразмерах, то обычноупотребляют слова «длина», «ширина» и «высота». Имея в виду длинытрехребер с общейвершиной. В геометрииэти три величиныобъединяютсяобщимназванием: измеренияпрямоугольногопараллелепипеда.

На рисункеизображенпрямоугольныйпараллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

В качестве его измеренийможновзять, например, длиныребер DA, DC и DD₁, все эти ребра имеютобщую вершину D.

Каквы уже знаете у прямоугольника два измерения – длина и ширина.

При этомнапомню, .

Оказывается, чтоаналогичнымсвойствомобладает и прямоугольныйпараллелепипед: квадрат диагоналипрямоугольногопараллелепипедаравенсуммеквадратовтрех его измерений.

Рассмотримпрямоугольныйпараллелепипед . И докажем, что – диагональпараллелепипеда, а, b и c – ребра, имеющиеобщую вершину.

Пусть , , .

– прямоугольник.

Из по теоремеПифагораимеем .

Замечание. Данноеутверждениеназывают пространственнойтеоремойПифагора.

Рассмотримеще одно свойство, иллюстрирующееаналогиюмеждупрямоугольником и прямоугольнымпараллелепипедом. Мызнаем, чтоплощадьпрямоугольникаравнапроизведению его измерений.

Оказывается, чтоаналогичноеутверждение справедливо и для прямоугольногопараллелепипеда: объемпрямоугольногопараллелепипедаравенпроизведениютрех его измерений.

Для доказательстваэтогоутверждениявоспользуемся принципом Кавальери.

Рассмотримсначалапрямоугольныйпараллелепипед с измерениями а, b, 1 и куб с ребром 1, «стоящие» на плоскости α. Этот куб являетсяединицейизмеренияобъемов, т. е. его объемравен 1. Любаясекущаяплоскость, параллельнаяплоскости α, дает в качествесечения куба квадрат площадиравной 1, а в качествесечениярассматриваемогопараллелепипеда – прямоугольникплощадиравнойпроизведениюab. Следовательно, согласно принципу Кавальери, объемэтогопараллелепипеда в а на b раз большеобъема куба, т. е. равенab.

Рассмотримтеперь два прямоугольныхпараллелепипеда: один с измерениями а, b, 1, а другой – с измерениями а, b, c, «стоящие» на плоскости α так, как показано на рисунке. Объемпервогопараллелепипеда, какбыло доказано, равенab. Докажем, чтообъемвторогопараллелепипедаравенabc.

Любаясекущаяплоскость, параллельнаяплоскости α, дает в качествесеченияпервогопараллелепипедапрямоугольникплощадиравной , а в качествесечениявторого – прямоугольникплощадиравнойпроизведению . Поэтомуобъемвторогопараллелепипеда в c раз большеобъемапервого и, следовательно, равен . Что и требовалосьдоказать.

В прямоугольномпараллелепипеде с измерениями а, b, c, изображенном на рисунке, площадь , а высота . Поэтому формулу можнозаписать в виде , т. е. объемпрямоугольногопараллелепипедаравенпроизведениюплощадиоснования на высоту.

Оказывается, чтотакая же формула имеетместо для любойпризмы: объемпризмыравенпроизведениюплощадиоснования на высоту.

Задача. прямоугольныйпараллелепипед. Определитечемуравнадиагональ , еслипараллелепипедимеетизмерения см, см и см.

Решение.

Напомню, что квадрат диагоналипрямоугольногопараллелепипедаравенсуммеквадратовтрех его измерений.

(см)

Ответ: (см).

Задача. прямоугольныйпараллелепипед, основание – квадрат. Объем см³. Определитевысотупрямоугольногопараллелепипеда, если см.

Решение.

На этомурокемы доказали, чтообъемпрямоугольногопараллелепипедаравенпроизведениюплощадиоснования на высоту. Выразимизформулывысоту.

(см²)

(см)

Ответ: (см).

Подведемитогиурока. На этомурокемыподробнорассмотрелипрямоугольныйпараллелепипед. И выяснили, чтопрямоугольныйпараллелепипедобладаетсвойствами, иллюстрирующимианалогию с прямоугольником. А именно квадрат диагоналипрямоугольногопараллелепипедаравенсуммеквадратовтрех его измерений. И объемпрямоугольногопараллелепипедаравенпроизведениютрех его измерений. А такжеобъемпрямоугольногопараллелепипедаможновычислитькакпроизведениеплощадиоснования на высоту.