Собственные векторы и собственные значения

Собственные векторы и собственные значения

линейного оператора

(17марта, 4гр. и 5гр. 1-го курса)

Поставим перед собой задачу: Для данного оператораА: Е Е с матрицей

А_е=

найтитакиечислаλ, чтобывыполнялосьравенствоАx =λ xдля некоторого ненулевого вектораx.

Координаты вектора x в базисе е обозначим x₁, x₂, x₃. Тогда должно выполняться равенство

· = λ ·

Это равносильно тому, что

· = (1)

Если раскрыть это равенство, то получится система однородная система линейных уравнений с матрицей, равной А_е− λ Е.

Если определитель этой матрицы ≠ 0, то по правилу Крамера эта система имеет единственное нулевое решение, которое даст нулевой вектор с такими координатами. Это не будет решением задачи.

Если же определитель = 0, то ранг этой матрицы окажется меньше, чем 3, и система будет иметь ненулевые решения. Значит, в этом случае, решая систему (1), мы тем самым решим поставленную задачу.

Итак, поставленная задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие = 0.

Все такие значения называются собственными значениями оператораА,
а ненулевые векторыx, для которых Аx =λ x, называются собственными векторами этого операторас собственным значением λ.

Пример. А_е = .

= =

= ( )·( )·( ) 9 +3·( ) +3·( ) +9·( )=

= (1 +λ ²)·( ) + 9 – 9λ =

= − λ ³ − 3λ ² + 4= − (λ ³ +3λ ² – 4).

				− 4
				0

Таким образом, = 0 тогда и только тогда, когда λ ³ +3λ ² – 4=0. Хорошо виден один корень этого уравнения: =1. Делим многочлен на ( − 1) по схеме Горнера:

Поэтому λ ³ +3λ ² – 4= ( − 1)· (λ ² +4λ + 4) = ( − 1)· (λ +2)².

Все корни этого многочлена: =1 =− 2. Это все собственные значения данного оператора.

Решая систему (1) для собственного значения =1, а потом для собственного значения = − 2, найдём координаты всех собственных векторов данного оператора.

1) =1 · =

Так как определитель матрицы равен нулю, то её ранг равен 2. Поэтому одна строка линейно выражается через другие, например вторая. Вычеркнем её, последнюю разделим на 3, поменяем местами с первой и запишем соответствующую систему

− + 0· = 0

− + = 0

Положим = С₃, или, чтобы удобнее было вычислять, = 3С₃.

Тогда = С₃, = С₃.

Общее решение системы имеет вид (x₁, x₂, x₃) = (С₃, С₃, 3С₃), где С₃Î R.

По этим координатам записываем векторы и берём только ненулевые:

x= (С₃, С₃, 3С₃)_e, где С₃Î R, С₃≠ 0. Это все собственные векторы оператораА с собственным значением =1.

2) =− 2. · =

− 3 + = 0 − + = 0

− + = 0 или − 2 =0.

Запишем систему в ступенчатом виде

+ − = 0

− 2 =0

Получаем общее решение(x₁, x₂, x₃) = (С₂, С₂, 0), где С₂Î R.

По этим координатам записываем векторы и берём только ненулевые:

x= (С₂, С₂, 0)_e, где С₂Î R, С₂≠ 0. Это все собственные векторы оператораА с собственным значением = − 2.

Всё рассмотренное перенесём на случай линейного оператораА: Е Е, действующего в пространстве произвольной размерности. Тогда

А_е= А_е− E=

Определение. Собственным вектором линейного оператораА: Е Е называется такой ненулевой вектор xÎ E, чтоАx = λ x. При этом число λ называется собственным значением этого вектора, а также собственным значением этого оператора.

Теорема. Число λ является собственным значением оператораА: Е Е тогда и только тогда, когда определитель = 0.

Определение. Многочлен от переменной λ, равный определителю
, называется характеристическим многочленом оператора А.

Таким образом,

1. Все собственные значения оператораА− это все вещественные корни его характеристического многочленаp(λ ) = .

2. Если λ ₀− собственное значение оператораА, то соответствующие ему собственные векторы строятся по всем ненулевым решениям однородной линейной системы, матрица которой совпадает с матрицей ₀Е. Эти решения – координаты собственных векторов в базисе е.