Вопросы к экзамену по алгебре

Вопросы, помеченные знаком *, предназначены только тем, кто стремится получить отметку отлично или хорошо. Для получения допуска к экзамену необходимо отчитаться по всем домашним контрольным работам.

1. Группы, их свойства.

2. Подгруппы. Критерии того, что подмножество группы является подгруппой.

3. Порядок элемента группы: определение и примеры.

4. Смежные классы группы по подгруппе, их свойства. Теорема Лагранжа.

5. Нормальные делители. Факторгруппы.

6. Гомоморфизмы групп, включая эпиморфизмы, вложения, изоморфизмы, эндоморфизмы и автоморфизмы групп. *Внутренние автоморфизмы. *Второе определение нормального делителя и равносильность этого определения первому определению.

7*. Группы и .

8. Пусть --- гомоморфизм групп. Теоремы о , .

9*. Теорема об образе нормального делителя при эпиморфизме групп. Критерий того, что эпиморфизм является изоморфизмом.

10*. Теорема Кэли.

11*. Функция Эйлера. Теорема о том, что если числа и взаимно простые, то .

12. Функция Эйлера. Теорема о том, что для всякого простого числа справедливы равенства и . Теорема о том, что если --- каноническое разложение числа , то .

13. Конечные циклические группы.

15. Кольца. Ассоциативные и коммутативные кольца. Единица и обратимые элементы кольца. Мультипликативная группа ассоциативного кольца с единицей. Тела, поля. Делители нуля.

16*. Идеалы и факторкольца. Идеал, порожденный подмножеством. Главный идеал. Теорема о том, что евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.

17*. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов над полем, теорема Безу. Евклидово кольцо и евклидовость кольца многочленов над полем.

18*. Теорема Гаусса о сосуществовании корня комплексного многочлена степени выше первой и ее следствие.

19*. Теорема Виета. Какими могут быть корни кубического уравнения с действительными коэффициентами?

20. Теорема об обратимых и простых элементах кольца многочленов над полем. Классификация элементов в кольцах и .

21*. Простые и составные элементы кольца . Признак Эйзенштейна.

22*. НОД и НОК двух идеалов. Теорема о существовании НОД и НОК для ненулевых и в кольце главных идеалов.

23*. Теорема о том, что евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Теорема о том, что кольцо главных идеалов факториально.

24. Индуктивное определение кольца . Лексикографическое упорядочение. Однородные и симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах.

25. Результант, его свойства и применение к решению алгебраических уравнений.