Питання до екзамену 2 семестр

1. Визначений інтеграл та його властивості.

2. Інтеграл, як функція верхньої межі. Її властивості. Теорема Барроу.

3. Формула Ньютона – Лейбниця. Методи інтегрування.

4. Інтеграли від парних та непарних функцій на симетричному проміжку. Інтеграли від періодичних функцій.

5. Невласні інтеграли першого роду. Достатні ознаки збіжності інтегралів від невід’ємних функцій.

6. Невласні інтеграли другого роду. Достатні ознаки збіжності інтегралів від невід’ємних функцій.

7. Застосування визначених інтегралів до обчислення площ фігур декартовій, полярній системі координат та для параметрично заданих кривих.

8. Обчислення довжини дуги у різних системах координат.

9. Обчислення об’ємів тіл та площі поверхні обертання.

10. Поняття подвійного інтеграла. Його властивості, фізичний та геометричний зміст.

11. Обчислення подвійного інтеграла у прямокутній області.

12. Обчислення подвійного інтеграла у довільній правильній області.

13. Заміна змінних у подвійному інтегралі.

14. Поняття потрійного інтеграла, властивості, застосування.

15. Обчислення потрійного інтеграла. Заміна змінних: циліндрична система координат.

16. Обчислення потрійного інтеграла. Заміна змінних: сферична система координат.

17. Криволінійні інтеграли першого роду. Властивості, обчислення.

18. Криволінійні інтеграли другого роду. Властивості, обчислення.

19. Формула Гріна (дов).

20. Умови незалежності криволінійного інтеграла другого роду від шляху інтегрування.

21. Поверхневі інтеграли першого роду. Властивості, застосування.

22. Поверхневі інтеграли другого роду. Властивості. Зв’язок між поверхневими інтегралами першого та другого роду.

23. Формула Остроградського – Гаусса (дов. ) Векторна форма.

24. Формула Стокса (дов. ) Векторна форма.

25. Векторне поле. Дивергенція, циркуляція, ротор. Їх властивості.

26. Диференціальні рівняння (ДР). Основні поняття. Диференціальні рівняння першого порядку.

27. Диференціальні рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.

28. Лінійні ДР першого порядку. Метод Лагранжа знаходження розв’язку.

29. Лінійні ДР першого порядку. Метод Бернуллі знаходження розв’язку.

30. Рівняння Бернуллі. Зведення його до лінійного.

31. ДР другого порядку. Рівняння, які допускають пониження порядку.

32. Лінійні ДР вищих порядків. Властивості розв’язків ЛОДР. Структура загального розв’язку.

33. Лінійно залежні та незалежні системи функцій. Вронскіан. Теореми про Вронскіан.

34. ЛОДР зі сталими коефіцієнтами. Знаходження фундаментальної системи розв’язків для ЛОДР другого порядку.

35. Загальний розв’зок ЛНДР. Теорема про накладання розв’язків.

36. ЛНДР зі сталими коефіцієнтами і спеціальною правою частиною. Метод Ейлера знаходження частинного розв’язку.

37. ЛНДР зі сталими коефіцієнтами і спеціальною правою частиною. Метод Лагранжа знаходження частинного розв’язку.

38. Системи ДР. Основні поняття. Метод виключення та матричний метод знаходження розв’язку системи.