Лабораторная работа: Пример численного решения уравнения с использованием разностной схемы на примере уравнения Шредингера.

1. Нелинейное уравнение Шредингера

Где A – огибающая импульса A(z, t)

Коэффициенты b_n - показатели при разложении волнового числа b (связанного с показателем преломления) в ряд:

Возможно использовать следующую аппроксимацию показателя преломления (зависимость Селлмейера):

a - показатель поглощения, пока не будем использовать (a=0).

g - нелинейный показатель, может быть вычислен, однако оставим это за пределами данной работы. В начале работы данный параметр не нужен.

Импульс рассматривать в форме «гаусса»:

T₀ – полуширина импульса по уровню 1/e

Формулы, которые могут пригодиться

Выражение длины волны через частоту:

Дисперсионная длина:

2. Сеточный метод решения, явная схема

Для примера возьмем часть уравнения

Распишем в виде конечных разностей:

Или

3. Последовательность выполнения работы N1

1) Рассчитать коэффициенты b₁, b₂ исходя из формулы Селлмейера (все данные есть в разделе 1). Взять длину волны l₀ = 780 нм (1000 нм, 1550 нм)

2) Написать программу, в которой задать импульс гауссовой формы на некоторой сетке (сетка – массив из 100 – 1000 точек). Подобрать оптимальный на ваш взгляд шаг сетки, обосновать выбор шага. Длительность импульса взять T0 взять равной 10 фс.

3) Вывести график импульса (возможно на экран, возможно в файл и затем применить matcad или Excel для того чтобы его показать)

4) Решить уравнение без учета нелинейности, поглощения и дисперсии второго порядка (на данном шаге), т. е. оставить только

Проверить, что импульс сдвигается, расчитать скорость движения (приблизительно) исходя из размера сетки по времени (приблизительно проследить за движением пика импульса). Проверить соответствие

Внимание: на всех шагах работы и в программе необходимо контролировать какие единицы измерения используются, обратите внимание, что в разделе 1 используются различные единицы измерения, совет – переводить их в СИ перед использованием.