Уравнение касательной к графику функции.

Уравнение касательной к графику функции.

Скачайте презентацию (в группе в контакте)

Цель урока:

Узнать понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.

Вспомним, что же такое касательная?

«Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку». (Слайд № 2)

Верно ли это утверждение? Для наглядного представления рассмотрим следующий пример.

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1; 1). Почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис. 2).

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомним общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

Итак, начнем

Сформулируйте определение производной. (Слайд № 5)
Заполните таблицу произвольных элементарных функций. (Слайд № 6)
Вспомните правила дифференцирования. (Слайд № 7)
Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно)

(Слайд №8)

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т. е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

Причем, если:

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т. е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)

Рассмотрим примеры:

Составим уравнение касательной:

к параболе в точке (Слайд № 13)
к графику функции в точке (Слайд № 14)

Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)

Обозначим абсциссу точки касания буквой a.
Вычислим .
Найдем и .
Подставим найденные числа , в формулу

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

(Слайд № 16)

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

3) ;

4) Подставим найденные числа , , в формулу.

Получим:

, т. е.

Ответ:

№2 К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . (Слайд № 17)

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование «провести касательную» обычно означает «составить уравнение касательной». Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: . Но . Следовательно: ; .

Из уравнения , т. е. , находим, что и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

Действуем по алгоритму.

1) ,

2) ,

4) Подставив значения , , , получим , т. е. .

Подставив значения , , , получим , т. е.