Лекція 10

§1 Критерій Коші збіжності функціональних рядів. Достатня ознака рівномірної збіжності функціональних рядів

Критерій Коші:

Для того, щоб функціональний ряд

Був рівномірно збіжним в області збіжності необхідно і досить, щоб не залежить від х: .

Теорема Вейєрштрасса (достатня умова):

Якщо для функціонального ряду з неперервними на [a, b] членами ряду існує такий числовий ряд - збіжний, де > 0 такий, що , то даний ряд рівномірно збіжний для будь якого х з проміжку [a, b].

Доведення:

Збіжність ряду за критерієм Коші збіжний числовий ряд, що виконується . Розглянемо

Висновок: за критерієм Коші функціональний ряд збіжний.

§2 Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів

Теорема 1 (про неперервність суми рівномірно збіжного функціонального ряду)

Якщо члени ряду:

1. Неперервні на [a, b]

2. Ряд рівномірно збіжний на [a, b], то його сума S(x) є неперервною функцією на [a, b]

Доведення:

Неперервність членів ряду забезпечує неперервність його частинних сум . Тобто неперервні в , це означає, що :

Розглянемо різницю між за умов (2) ми маємо => x

=> S(x) неперервна на [a, b]

Приклад:

1. (1-x)+(x-

Зауваження:

В рівномірно збіжному функціональному ряді почленно можна переходити до границі.

Геометрична прогресія, b= , q=

S= =

S(0)=0;

3. Дано функціональний ряд . Дослідити на рівномірну збіжність.

Означення:

Числовий ряд

Такий, що для членів

Називається мажорантою функціонального ряду. Тоді - міноранта.

Отже, збігається рівномірно на R.

Теорема 2 (про інтегрованість рівномірно збіжного функціонального ряду)

Якщо члени функціонального ряду

1) Неперервні на [a, b]

2) Ряд рівномірно збіжний на [a, b]

То його можна почленно інтегрувати на одержимо ряд:

Одержаний ряд рівномірно збіжний і його сума дорівнює інтегралу від суми даного ряду.

Теорема стверджує, що рівномірно збіжний функціональний ряд можна почленно інтегрувати в області збіжності.

Приклад:

G(x)=? Через 1+х+

G(x)=

G(0)=0

0=-ln1+c => c=0

G(x)=-ln(1-x)

Теорема 3(про диференційованість рівномірно збіжного функціонального ряду)

Якщо члени:

1) Неперервно диференційовані на [a, b]

2) Функціональний ряд , одержаний із даного, шляхом диференціювання його членів, рівномірно збіжний на [a, b]

3) Даний ряд збігається

Тоді даний ряд можна почленно диференціювати. Сума одержаного ряду дорівнює похідній від суми даного ряду для х і даний ряд буде рівномірно збіжним.

S(x)=

Приклад:

1. Неперервно диференційований на R

2. X=0 => ряд збіжний

3. Формально диференційований

– розбіжний, диференціювання ряду неможливе

§3 Степеневі ряди. Теорема Абеля.

Означення:

Функціональний ряд виду

Називається степеневим рядом з центром розкладу в точці . - коефіцієнт ряду

Розглядаємо ряд:

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд збігається при х= , то він абсолютно і рівномірно збіжний при таких х, що , якщо в точці степеневий ряд розбігається, то він розбігається для всіх

Означення:

Область збіжності степеневого ряду є інтервалом з центром в точці 0 (-R; R), поза яким степеневий ряд розбіжний. R – радіус збіжності степеневого ряду.

Для доведення теореми Абеля запишемо ряд у вигляді