КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

1. Вычислить определитель

А) . Б) .

Решение:

А) Вычислим определитель путем разложения по первой строке, используя формулу:

= ∙ - ∙ + ∙ - разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Определители второго порядка вычисляются по формуле:

= ∙ - ∙

Элементы , , , в определителе (2) образуют форму квадрата. Диагональ, на которой находится элементы , - главная, а диагональ, на которой находятся элементы , - побочная.

Общая формула разложения определителя третьего порядка.

= ∙ А_i_,_j= ∙ (–1)ⁱ⁺^j ∙ M_i_,_j,

А_i_,_j – алгебраическое дополнение (адъюнкт) элемента в определителе, равное произведению минора M_i_,_j (определителя) второго порядка полученного вычеркиванием i-ой строки и j – столбца в определителе на

(–1)ⁱ⁺^j, .

=1 -2

Таким образом,

Б) Вычислим данный определитель, путем разложения по элементам первого столбца:

= =0 -1

Таким образом, =4

Ответ: А) ; Б) =4

2. Решить систему методом обратной матрицы

А) б)

Решение:

А)

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка и найдем к ней обратную.

Пусть и D_A=det A, тогда обратная матрица к матрице А имеет вид:

А₁₁=(-1)¹⁺¹∙ d=d, А₁₂=(-1)¹⁺²∙ c=-c, А₂₁=(-1)²⁺¹∙ b=-b, А₂₂=(-1)²⁺²∙ a=a,

Имеем, что

Составим и вычислим определитель системы:

, следовательно существует обратная матрица и система имеет единственное решение.

А₁₁=(-1)¹⁺¹∙ (-5)=-5, А₁₂=(-1)¹⁺²∙ 2=-2, А₂₁=(-1)²⁺¹∙ 3=-3, А₂₂=(-1)²⁺²∙ 1=1,

Имеем, что

Исходную систему уравнений можно записать в виде матричного уравнения

А где , и .

Тогда решение матричного уравнения будем находить по формуле:

Х= , где - обратная матрица к матрице А. Умножение матриц некоммутативно, поэтому умножаем матрицу В на обратную матрицу слева.

Х= =

Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Находим матрицу С=АВ, элементы которой определяются по формуле

Учитывая последнюю формулу, получаем:

=2.

Таким образом, 2.

Б)

Решение: Составим и вычислим определитель системы:

, следовательно существует обратная матрица и система имеет единственное решение.

А₁₁=(-1)¹⁺¹∙ (-2)=-2, А₁₂=(-1)¹⁺²∙ 3=-3, А₂₁=(-1)²⁺¹∙ 1=-1, А₂₂=(-1)²⁺²∙ 1=1,

Имеем, что

Исходную систему уравнений можно записать в виде матричного уравнения

А где , и .

Тогда решение матричного уравнения будем находить по формуле:

Х= , где - обратная матрица к матрице А.

Х= =

Учитывая последнюю формулу, получаем:

=1.

Таким образом, 1.

Ответ: А) 2.

Б) 1.

3. Исследовать систему

А) б)

Решение:

А)

Составим и вычислим определитель системы:

Так как определитель системы равен нулю, то возможно два варианта:

1) система имеет бесчисленное множество решений, если , где - определители, полученные из определителя системы путем замены переменных соответственно первого и второго столбца столбцом свободных членов;

2) система не имеет решения, если .

Составим и вычислим определители:

=2 .

Следовательно, данная система не совместна, т. е. не имеет решения.

Б)

Решение: Составим и вычислим определитель системы:

Так как определитель системы равен нулю, то возможно два варианта:

2) система не имеет решения, если .

Составим и вычислим определители:

=-1 .

Следовательно, данная система совместна и имеет бесконечное множество решений.

Ответ:

А) система не совместна, т. е. не имеет решения;

Б) система имеет бесконечное множество решений.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

№1. Найти значение выражения

Здесь n – число гласных в фамилии

m – число согласных в фамилии

Решение: Имеем n=4, m=4

Найдем значение выражения

Запишем в виде матричного выражения:

1)Найдем D=

По последней формуле определяем элементы матрицы D.

= ; = ;

= ; =- .

2)Найдем произведение матриц

= ; = ;

= ; =- .

3)Найдем матрицу G=2 =2

4) Найдем матрицу

К=F-G=

Ответ: =

№2. Вычислить

Решение:

Вычислим определитель по формуле

= ∙ - ∙ + ∙ - разложения определителя третьего порядка по элементам первой строки.

=1 .

Учитывая, что определители второго порядка находятся по формуле:

= ∙ - ∙

Ответ: =6

№3 Решить неравенство

Решение:

Используя формулу нахождения определителя второго порядка

Ответ:

№4 Вычислить определитель

Решение:

Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

Вычислим определители третьего порядка, являющиеся минорами для исходного определителя.

Вычисляем данные определители разложением путем разложения определителя по первой строке.

Ответ: =-113

№5 Найти обратную матрицу к матрице А

Решение:

а) Обратная матрица матрицы А имеет вид

где

т. е. матрица A - невырожденная, и, значит, существует матрица

Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A, где А_i_,_j – алгебраическое дополнение (адъюнкт) элемента в определителе, равное произведению минора M_i_,_j (определителя) второго порядка полученного вычеркиванием i-ой строки и j – столбца в определителе на

(–1)^i+j,

0-0=0; =0+1= 1

=2; = = -4

- = 0; =1-0= 1

Тогда обратная матрица имеет вид:

Ответ:

№6. Найти ранг матрицы

Решение:

Рангом матрицы называют максимальное число линейно независимых строк или наибольший порядок минора этой матрицы, отличный от нуля

Чтобы определить ранг матрицы приведем ее к треугольному (диагональному) ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований, к которым относят:

1)перестановка любых строк матрицы;

2) умножение любой строки на число, не равное нулю;

3) вычеркивание строки, состоящей из одних нулей;

4) вычитание из любой строки, любой другой, умноженной на число, отличное от нуля.

1)К 3 строке прибавим 1 строку, умноженную на (-1)

Получаем rang A=3.

Или вычислим миноры этой матрицы.

А) Минор =(-1)

Б) Его окаймляет минор = =0+1 .

Так как наивысший порядок минора отличного от нуля равен 3, то ранг матрицы А тоже равен 3.

Ответ: rang A=3

№7. Найти решение системы тремя методами

Решение:

1) Реши м систему методом Крамера. Для этого используем формулы Крамера:

; ; .

Где -определитель системы, определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.

, и - определители, полученные путем замены коэффициентов при соответственных неизвестных столбцом свободных членов.

Составим и вычислим определитель системы, путем разложения по первой строке:

2 =2 -1

Таким образом, , следовательно система совместна и имеет единственное решение.

Найдем определители:

= =4

= =2

Подставляя полученные значения в формулы Крамера, получаем значения переменных:

; =1; .

Ответ: (1; 1; 1)

2) Решим систему с помощью обратной матрицы.

Данную систему уравнений можно переписать в виде матричного уравнения:

, где А= , и =

Тогда решение матричного уравнения будем искать в виде: , где -матрица, обратная к матрице А.

А) Найдем обратную матрицу .

Найдем определитель матрицы:

=2 -1 =2

, следовательно матрица А невырожденная, т. е. существует обратная.

Обратная матрица матрицы А имеет вид

(–1)^i+j,

=7; =2+3= 5

=-5; = = -1

- = -3; =-2-1= -3

Тогда обратная матрица имеет вид:

Х= =

Ответ: (1; 1; 1)

3) Решим систему уравнений методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее при помощи элементарных преобразований к диагональному (ступенчатому) виду.

1)Поменяем местами 1 и 2 строки.

2)а) к 2 строке прибавить 1 строку, умноженную на ;

Б) к 3 строке прибавить 1 строку, умноженную на (-3).

3) Разделим вторую строку на 3.

4) к 3 строке прибавить 2 строку, умноженную на (-5)

Таким образом, получаем систему, равносильную данной:

Применяя обратный ход метода Гаусса, последовательно получаем:

Ответ: (1; 1; 1)

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ ТЕСТ

Вариант ___1___

1. Вычислите значение матричного выражения

Решение: Запишем данное матричное выражение в виде:

1)Найдем матрицу F

Т. к. произведением матрицы А, имеющей размерность m х n, на матрицу В имеющей размерность n x p называется матрица С, имеющая размерность m x p, и элементы матрицы С определяются следующей формулой:

, i=1, 2, …, m, j=1, 2, …, p.

∙ =

Получаем

Таким образом,

Найдем матрицу D

Ответ:

= 10

2. Значением определителя является

Решение:

Вычислим определитель, разложив его по элементам четвертой строки:

Т. к. первое, третье и четвертое слагаемое в определители обращается в нуль, то можно не вычислять определители третьего порядка, входящие в эти слагаемые.