Занятие 2. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. Множества мощности континуум.

Занятие 2. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. Множества мощности континуум.

Задачи для контрольных заданий

1 вариант.

a) Множество всех многочленов с рациональными коэффициентами счетно.

b) Множество точек любого шара эквивалентно множеству точек любого тетраэдра.

2 вариант.

a) Множество всех алгебраических чисел счетно (число ε называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами).

b) Множество точек любого отрезка равномощно множеству точек любого интервала.

3 вариант.

a) Множество всех рациональных интервалов (т. е. интервалов с рациональными концами) на прямой счетно.

b) Множество точек любого треугольника эквивалентно множеству точек любого квадрата.

4 вариант.

a) Множество всех точек плоскости с рациональными координатами счетно.

b) Множество точек сфер радиусов R и r равномощны.

5 вариант.

a) Множество всех комплексных чисел несчетно(континуально).

b) Если каждое из двух данных множеств эквивалентно части другого, то данные множества равномощны (признак Кантора-Бернштейна).

6 вариант.

a) Множество всех точек любого конечномерного пространства Rn несчетно (континуально).

b) Множество точек окружности радиуса R эквивалентно множеству точек окружности радиуса r.

7 вариант.

a) Множество точек отрезка [2; 5] несчетно (континуально).

b) Множества точек всех шаров равномощны.

8 вариант.

a) Множество всех положительных чисел континуально.

b) Множества точек круга и прямой равномощны.

9 вариант.

a) Множество всех точек плоскости континуально (несчетно).

b) Множество целых чисел эквивалентно множеству рациональных чисел.

10 вариант.

a) Множество всех точек сферы несчетно (континуально).

b) Множества точек любых отрезков эквивалентны.

11 вариант.

a) Множество точек окружности континуально.

b) Множество точек любого шара эквивалентно множеству точек любого куба.

12 вариант.

a) Множества положительных и отрицательных чисел континуальны.

b) Множество N эквивалентно множеству N2.

13 вариант.

a) Множество всех прямых на плоскости континуально.

b) Множества точек всех правильных треугольников равномощны.

14 вариант.

a) Существует множество трансцендентных чисел (т. е. чисел, не являющихся корнями некоторого многочлена с рациональными коэффициентами).

b) Множество точек отрезка [1; 2] эквивалентно множеству точек отрезка [1; 200].

15 вариант.

a) Множество иррациональных чисел несчетно (континуально).

b) Мощность бесконечного множества не изменится, если к нему присоединить счетное или конечное множество.

16 вариант.

a) Множество точек круга континуально.

b) Множество точек интервала (− 𝜋 2; 𝜋 2) эквивалентно множеству точек интервала (− ∞; ∞ ).

17 вариант.

a) Конечное число континуальных множеств континуально.

b) Множество точек сферы эквивалентно множеству точек плоскости.

18 вариант.

a) Существует множество равномощное множеству натуральных чисел, но являющееся его собственным подмножеством.

b) Множество точек любого интервала эквивалентно множеству точек прямой.

19 вариант.

a) Множество векторов с натуральными координатами счетно.

b) Множество точек шара эквивалентно множеству точек правильной пирамиды.

20 вариант.

a) Множество трансцендентных чисел континуально (т. е. чисел, не являющихся корнями некоторого многочлена с рациональными коэффициентами).

b) Множество положительных чисел эквивалентно множеству всех вещественных чисел.