ЗАДАЧА 1.6.пример

1)Условие задачи: Вычислить сумму бесконечного ряда с точностью eps=0. 001. Ряд сходится при | x| < 1.

При вычислении очередного члена ряда использовать рекуррентное соотношение.

1) таблица данных

Вид данного	Обозна-чение	Смысл	Тип	Примечание
Исходные данные	x	Аргумент	Веществ.	\| x \| < 1
	eps	Точность вычисления суммы ряда	Веществ.
	nmax	Предельно допустимое кол-во суммируемых членов ряда	Целое
Результирующие данные	sum	Сумма ряда	Веществ.
Промежуточные данные	i	Порядковый номер текущего члена ряда	Целое
	T	Текущий член ряда	Веществ.
	c	Коэффициент для вычислениия T	Веществ.

2)Тесты

4а)Аномалии: 1) | x| > 1 2) i > nmax

4б) Тесты

№ пп	Что проверяется	Значения исходных данных	Ожидаемый результат
	Реакция программы при \|x\|> =1	x=2, 5	Текст ‘\| x\| > = 1, введите снова'
	Реакция программы при i > nmax	nmax =1, eps = 0. 01, x = 0. 5	Текст ‘i> nmax’
	1 > x > 0, i < nmax	x = 0. 9, eps = 0. 01, nmax =50	х=…, sum=…, i =…
	0 > x > -1, i < nmax	x = - 0. 9, eps = 0. 01, nmax =50	х=…, sum=…, i =…

3) Вывод формулы c = (i-ый член ряда ) / ( (i – 1)-ый член ряда ) =

4)Алгоритм

Начало ввод x если | x| < 1 то ввод nmax, eps i =1 T: = Первый текущий член ряда sum = T (в некоторых задачах 1+ T) цикл i = i + 1 c =… T = c* T sum = sum + T до ( ( i ≠ nmax) и (|T| > eps) ) конец цикла если ( |T| < eps ) то y=… вывод x, y, sum, i иначе вывод ‘ i > nmax ’ конец если иначе вывод “| x| > 1, введите снова “ конец если конец

Пример 1:

n! = 1 * 2 * 3 * … (n-2) * (n-1) * n = (n-1)! * n = (n-2)! * (n-1) * n = (n-3)! * (n-2) * (n-1) * n и т. д.

(2n)! = 1*2*3* … (2n) = 1*2*3* … * (2n -3) * (2n -2) * (2n -1)*(2n) = (2n-1)! *(2n)= (2n-2)! *(2n-1)*(2n)=. . .

(2n + 2)! = 1*2*3 * … (2n + 2) = 1*2*3* …* (2n -1) * (2n ) * (2n + 1)*(2n + 2) = (2n-1)! * (2n ) * (2n + 1)*(2n + 2)

(2n-1)! / (2n + 2)! = (2n-1)! / [(2n-1)! * (2n ) * (2n + 1) * (2n + 2)] = 1 / [(2n ) * (2n + 1) * (2n + 2)]

Пример 2:

Ряд

1 – 2*x³ / 4! + 3*x⁴ / 8! -. . . + (-1)^k(i+1)*x^k+2 / (4k)! +. . .

k-ое слагаемое T = (-1)^k(i+1)*x^k⁺² / (4k)!

T_при_k=i = (-1)ⁱ *(i +1)*x ⁱ⁺² / (4i)!

T_при_{k= i-1}= (-1)^(i-1) *((i-1) +1)*x ^(i-1)+2 / (4(i-1))! = (-1)^i-1 *(i-1 +1)*x ^i-1+2 / (4i-4)! = (-1)^i-1 * i *x ^{i +1} / (4i-4)!

c = T_при_k=i / T_при_{k= i-1} = ( (-1)ⁱ *(i +1)*x ⁱ⁺² /(4i)! ) / ( (-1)^i-1 * i *x ^{i +1} / (4i-4)! ) = (-1)* (i +1)*x* (4i-4)! / ( i* (4i)! ) =

= - ( x*(i +1) / i ) * ( (4i-4)! /(4i)! ) = - x * (i +1) / ( i * (4i)*(4i-1)*(4i-2)*(4i-3) ), т. к.

(4i)! = 1 *2 *… * (4i - 4) * (4i - 3) * (4i - 2) * (4i - 1) * (4i) = (4i - 4)! * (4i - 3) * (4i - 2) * (4i - 1) * (4i)

Начало

ввод x

если | x| < 1 то

ввод nmax, eps

i: =1

T: = – 2*x³ / (1*2*3*4)

sum: = 1+T

цикл

i: = i + 1

c: = - x * (i +1) / ( i * (4i) (4i-1) (4i-2) (4i-3))

T: = c* T

sum: = sum + T

до( i = nmax или |T| < eps )

конец цикла

если ( |T|< eps) то

вывод x, sum, i

иначе

вывод ‘i> nmax’

конец если

иначе

вывод ‘ | x| > 1, введите снова ‘

конец если

конец

Пример 3:

Ряд

X³ / (1*3) + x⁵ / (1*3*5) + x⁷ /(1*3*5*7) +. . . + * x^2k+1 / (1*3*5*. . . *(2k+1)) +. . .

T_при_k=i = x²ⁱ⁺¹ / (1*3*5*. . . *(2i+1))

T_при_{k= i-1}= x^2(i-1)+1 / (1*3*5*. . . *( 2(i-1) +1) ) = x^2i-2+1 / (1*3*5*. . . *( 2i-2+1) )= x^{2i -1} / (1*3*5*. . . *( 2i - 1) )

c = T_при_k=i/ T_при_{k= i-1} = x²ⁱ⁺¹ / (1*3*5*. . . *(2i+1)) / [x^{2i -1} / (1*3*5*. . . *( 2i - 1) )] =

= x² * (1*3*5*. . . *( 2i - 1) ) / (1*3*5*. . . *( 2i + 1) ) = x² / ( 2i + 1), т. к.

1*3*5*. . . *( 2i + 1) = 1*3*5*. . . *( 2i -3) *( 2i - 1) *( 2i + 1)

Пример 4:

Ряд

x(1/3! + 1/5! ) + x²(1/5! + 1/7! ) + … + x^k(1/(2k+1)! + 1/(2k+3)! )+ …

T_при_k=i = T1_при_k=i + T2_при_k=i, T1_при_k=i = xⁱ/(2i+1)!, T2_при_k=i = xⁱ/(2i+3)! ),

T1_при_k=i = c1* T1_при_k=i-1

T2_при_k=i = c2* T2_при_k=i-1