Число называется сопряженным числу . Геометрически эти числа симметричны относительно оси ОХ. (рис. 4.)

I Комплексные числа

1. Комплексные числа, геометрическое изображение, форм их задания.

Комплексным числом называется выражение вида , где x и y – действительные числа; i – мнимая единица ;

– действительная часть комплексного числа;

– мнимая часть комплексного числа.

Комплексное число изображается на плоскости хОу, которую будем называть комплексной плоскостью, точкой М (х, у) или радиусом-вектором . Модуль обозначается через и вычисляется по формуле

(1)

Аргумент комплексного числа - угол между радиусом-вектором точки, изображающей комплексное число на плоскости, и осью абсцисс – обозначается ArgZ.

Главным значением аргумента называется угол, лежащий в промежутке , обозначается argZ (далее ).

Аргумент и его главное значение связаны следующим соотношением:

, (2)

Главное значение аргумента Z определяется по формуле (см. рис. 1)

(3)

y y

M (x, y)

x M (x, y)

M (x, y)

x M (x, y)

Рис. 1

Действительная и мнимая части комплексного числа выражаются через модуль и аргумент следующим образом

(4)

Формы задания комплексных чисел:

алгебраическая:

; (5)

тригонометрическая:

; (6)

показательная:

. (7)

Типовые примеры.

Записать заданные комплексные числа в различных формах. Изобразить числа геометрически, найти . Указать их на чертеже.

Решение:

Модуль найдем по формуле (1)

Аргумент числа найдем по формуле (3) учитывая, что

Запишем комплексное число в тригонометрической форме по формуле (6)

в показательной форме по формуле (7)

Изобразим число на рис. 2 как точку плоскости с координатами (1, 1)

1 M (1, 1)

0 1 x

Рис. 2.

Решение

Модуль найдем по формуле (1)

Аргумент числа найдем по формуле (3) учитывая, что ,

Комплексное число в тригонометрической форме по формуле (6)

в показательной форме по формуле (7)

Комплексное число изобразим на рис. 3 как точку .

-2 -1 0 х

Рис. 3.

Контрольное задание.

Записать комплексное число в алгебраической, тригонометрической, показательной формах; найти модуль и аргумент; изобразить геометрически

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. .

2. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Два комплексных числа и равны между собой тогда и только тогда, когда равны между собой их вещественные и мнимые части.

Очевидно, что равны их модули и аргументы .

Суммой чисел и называется комплексное число

а их разностью – комплексное число

При сложении (или вычитании) комплексных чисел векторы складываются (или вычитаются) по правилам векторной алгебры.

При умножении комплексных чисел пользуются правилом умножения двучленов, учитывая, что .

(8)

Число называется сопряженным числу. Геометрически эти числа симметричны относительно оси ОХ. (рис. 4. )

Рис. 4.

Очевидно, что , .

Сопряженное число в показательной форме имеет вид .

Произведение комплексного числа на ему сопряженное равно квадрату его модуля:

(9)

При делении комплексных чисел необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю:

(10)

Запоминать формулы (8), (10) нет необходимости, так как операции производятся как с обычными многочленами, учитывая только, что

Типовые примеры.

Даны

Найти: 1) ; 2) ; 3) ; 4) и ; 5) ; 6) .

Решение:

Контрольное задание.

7. Даны ,

Найти: ; ; ; и ; ; .

3. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической и показательной формах.

Сложение и вычитание комплексных чисел рекомендуется проводить в алгебраической форме.

При умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, т. е.

(11)

(12)

При делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

(13)

(14)

При возведении в степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени

(15)

(16)

Формула (16) известна как формула Муавра. В частности,

Извлечение корня п-ой степени производится по формуле

(17)

(18)

В результате извлечения корня п-ой степени получают п различных значений комплексных корней (т. е. п разных комплексных чисел), модули которых равны , а аргументы двух соседних чисел отличаются на постоянное число . В связи с этим все корни п-ой степени лежат на одной окружности радиуса в вершинах правильного п- угольника.