«КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА». Геометрическое изображение комплексного числа

Опорный конспект №1-Спо теме

«КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»

Опр.: Комплексным называется число вида , где - заданные действительные числа, - специальный символ, называемый « мнимой единицей » и обладающий свойством . Число называется действительной частью комплексного числа, а число - мнимой частью. Обозначают: a=Re(z), b= Im(z).

Например: z=2+5i(здесь ), z=-4-i(здесь ), z= 7i(здесь )

Существует три формы записи комплексных чисел:

1) - алгебраическая форма комплексного числа

2) – тригонометрическая форма комплексного числа, где

- модуль, - аргумент комплексного числа

(cos ).

3) - показательная форма (экспонента е≈ 2. 7).

Опр.: Два комплексных числа называются равными, если равны соответственно их действительные и мнимые части.

Опр.: Комплексное число равно нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю. .

Опр.: Два комплексных числа называются сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые - противоположны. Обозначают – сопряженное к z.

, = .

Геометрическое изображение комплексного числа

Комплексные числа изображают на комплексной плоскости в виде точки с координатами ( ), то есть, по оси Ох откладывают действительную часть комплексного числа, а по оси Оу – мнимую часть, или изображают в виде вектора с началом в начале координат и концом в точке ( ).

Опр.: Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего комплексному числу: .

Опр.: Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим комплексному числу. (Обозначается . Вычисляется cos )

Опр.: Главнымаргументом комплексного числа называется наименьшее по абсолютной величине значение его аргумента. (Обозначается . . )

Операции над комплексными числами.

Над комплексными числами можно выполнять все 6 видов операций:

1) сложение, 2) вычитание, 3) умножение, 4) деление, 5)возведение в степень, 6) извлечение корня

Нельзя только сравнивать (т. е. сказать, какое число больше, а какое меньше).

Складывать и вычитать комплексные числа удобнее в алгебраической форме записи. Умножать и делить можно во всех формах записи. Возводить в степень и извлекать корень лучше в тригонометрической форме.

Пусть - комплексные числа в алгебраической форме,

тригонометрическая форма этих чисел.

Тогда имеют место следующие формулы:

1. Сложение

Чтобы сложить два комплексных числа надо сложить между собой их действительные части и сложить их мнимые части.

2. Вычитание

Чтобы найти разность двух комплексных чисел надо из действительной части уменьшаемого вычесть действительную часть вычитаемого, а из мнимой части уменьшаемого вычесть мнимую часть вычитаемого.

3. Умножение

Чтобы найти произведения двух комплексных чисел в алгебраической форме надо из произведения действительных частей вычесть произведение мнимых частей, а сумму попарных произведений действительной на мнимую части домножить на .

Чтобы найти произведения двух комплексных чисел в тригонометрической форме надо их модули перемножить, а аргументы сложить.

4. Деление

Чтобы найти частное двух комплексныхчисел надо числитель и знаменатель дроби домножить на число, сопряженное знаменателю.

Чтобы найти частное двух комплексныхчисел в тригонометрической форме надоих модули разделить (модуль делимого разделить на модуль делителя), а аргументы вычесть.

5. Возведение в степень , n – натуральное число.

Чтобы возвести комплексное число в степень надо модуль данного числа возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.

Квадрат комплексного числа вычисляется по формуле:

6. Извлечение корня

Опр.: Число z называется корнем n-ой степени из комплексного числа w, если оно является решением уравнения .

Пусть комплексные числа z и w представлены в своей тригонометрической форме

Уравнение вида имеет разных решений, вычисляемых по формуле: , где .